用瑜伽球当凳子好不好:行测抽屉问题详解

公务员行测考试技巧之抽屉原理
学一学
把4只苹果放到3个抽屉里去，共有4种放法（请小朋友们自己列举），不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
同样，把5只苹果放到4个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
……
更进一步，我们能够得出这样的结论：把n＋1只苹果放到n个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论，通常被称为抽屉原理。
利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？
【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
想一想，例2中4改为7，3改为6，结论成立吗？
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。
思考：
1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
提示
抽屉原理还可以反过来理解：假如把n＋1个苹果放到n个抽屉里，放2个或2个以上苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放2个或2个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，n个抽屉最多有n个苹果，与“n+1个苹果”的条件矛盾。
运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常，可采用把n个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为12类，自然数可按被3除所得余数分为3类等等。
公务员考试行测极端法巧解抽屉原理题练习
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行职难题解法——极端法巧解抽屉原理题
例题1：一副扑克牌有黑桃、红桃、梅花和方块各13张，为保证至少有4张牌的花色相同，则至少应当抽出多少张牌？
解析：通过仔细分析题目，我们发现题目的难点在“保证至少有4张牌的花色相同”上。 “至少有4张牌的花色相同”意味着黑桃、红桃、梅花或者方块四种花色当中的任意一种有4张或者4张以上；而“保证”意味着无论抽出的这些牌是什么，都起码有4张牌的花色一样。那么，我们可以用极端法看看从最坏的角度会出现怎样的情况。
最差手气：假设我们第一张抽出的扑克牌是黑桃，然后又连续抽取了2张黑桃，此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃，那么有4张牌花色相同，满足条件。但不幸的是，接下来抽中的是红桃，而且连续3张都是红桃，此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃或者红桃，那么有4张牌花色相同，满足条件。可以想象，我们很不幸的抽到了梅花，而且同样又连续3张都是梅花。此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃、红桃或者梅花，只要不是方块，那么就有4张牌花色相同，满足条件。不用说，肯定很不幸的抽中了方块，而且又连续3张都是方块。此时，我们手上已经具有黑红梅方各3张，那么接下来不管手气怎样，都必然抽中黑红梅方任意一种花色，使得有4张牌的花色相同，满足条件。所以答案为3×4＋1＝13张。
理清思路之后，我们先来看国家公务员考试2004年B类第48题的珠子问题：
例题2：有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色相同，应至少摸出几粒？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：利用和例题1同样的思路，可以很快得出答案为C。
接下来我们再来看国家公务员考试2007年第49题的扑克牌问题：
例题3：从一副完整的扑克牌中，至少抽出（ ）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？
A．21 B．22 C．23 D．24
解析：利用和例题1相同的方法，连续抽取了5张黑桃之后，开始连续的抽取红桃，然后是梅花和方块。当以为接下来不管抽到黑红梅方什么花色都能解决问题的时候，发现抽到的是小王！哎呀，一副完整的扑克牌除了黑红梅方四种花色之外还有大王和小王各一张！接着又很不幸的抽中了大王之后，此时不管抽什么牌，都能保证有6张牌的花色相同。所以答案为5×4＋2＋1＝23张，选C。
总结：对于这类题目，可以利用抽屉原理解决。但是大多数学员并不了解抽屉原理，通过课堂讲解和强化练习不仅费时费力，并且很难保证学员真正理解，在实际解题中会出现不会构造抽屉的常见问题（如例题3）。利用极端法可以很好的解决这一问题，通过分析问题，只需构造问题的最坏情况即可。另外，极端法还具有更好的通用性，多道历年国家公务员考题都可以利用极端法解决。
公务员考试行测：抽屉原理的经典解题思路
抽屉原理在公务员考试中的数字运算部分时有出现。抽屉原理是用最朴素的思想解决组合数学问题的一个范例，我们可以从日常工作中的实例来体会抽屉原理的应用。抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。
先来看抽屉原理的一般叙述：
抽屉原理（1）：讲多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于2。抽屉原理（1）可以进行推广，把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
抽屉原理（2）：将多于 件的物品任意放到抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少m+1。也可以表述成如下语句：把m个物品任意放入n（n≤m）个抽屉中，则一定有一个抽屉中至多要有k件物品。其中 k＝〔m/n 〕 ，这里〔m/n 〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。
掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。一般来讲，首先得分析题意，分清什么是“物品”，什么是“抽屉”，也就是什么作“物品”，什么可作“抽屉”。 接着制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。 最后运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
下面两个典型例题的解题过程充分展现了抽屉原理的解题过程，希望读者能有所体会。
例1：证明任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
证明：考虑每个自然数被5除所得的余数。即自然数可以作为物品，被5除所得余数可以作为抽屉。显然可知，任意一个自然数被5除所得的余数有5种情况：0，1，2，3，4。所以构造5个抽屉，每个抽屉中所装的物品就是被5除所得余数分别为0，1，2，3，4的自然数。运用抽屉原理，考虑“最坏”的情况，先从每个抽屉中各取一个“物品”，共5个，则再取一个物品总能在先取的5个中找到和它出自于同一抽屉的“物品”，即它们被5除余数相同，所以它们的差能整除5。
例2： 黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的2双筷子（每双筷子两根的颜色应一样），问至少要取材多少根才能保证达到要求？
解：这道题并不是品种单一，不能够容易地找到抽屉和苹果，由于有三种颜色的筷子，而且又混杂在一起，为了确保取出的筷子中有2双不同颜色的筷子，可以分两步进行。第一步先确保取出的筷子中有1双同色的；第二步再从余下的筷子中取出若干根保证第二双筷子同色。 首先，要确保取出的筷子中至少有1双是同色的，我们把黑色、白色、黄色三种颜色看作3个抽屉，把筷子当作苹果，根据抽屉原则，只需取出4根筷子即可。其次，再考虑从余下的20根筷子中取多少根筷子才能确保又有1双同色筷子，我们从最不利的情况出发，假设第一次取出的4根筷子中，有2根黑色，1根白色，1根黄色。这样，余下的20根筷子，有6根黑色的，7根白色的，7根黄色的，因此，只要再取出7根筷子，必有1根是白色或黄色的，能与第一次取出的1根白色筷子或黄色筷子配对，从而保证有2双筷子颜色不同，总之，在最不利的情况下，只要取出4+7=11根筷子，就能保证达到目的。
以上两个题目都考虑了“最坏”的情况，这是考虑涉及抽屉原理的最值问题的常用思路。最后看一个有趣的数学问题，它体现了抽屉原理在证明存在性问题中的应用。
“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出：
在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一 条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC， AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相 识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。
公务员考试行测抽屉原理问题及真题解读
［ 作者：郭亮     来源：华图教育     更新时间：2007-11-13 16:26:00 ］
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“任意367个人中，必有生日相同的人。”
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”
“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”... ...
大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：
“把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”
比如一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
那么对于公务员考试，抽屉原理有哪些应用呢？让我们来看一道国国家公务员考试真题。
（2004年国家公务员考试行政职业能力测验真题B类卷-48题）：有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒？（）
A. 3     B. 4      C. 5    D. 6
【解析】这是一道典型的抽屉原理，只不过比上面举的例子复杂一些，仔细分析其实并不难。解这种题时，要从最坏的情况考虑，所谓的最不利原则，假定摸出的前4粒都不同色，则再摸出的1粒（第5粒）一定可以保证可以和前面中的一粒同色。因此选C。
传统的解抽屉原理的方法是找两个关键词，“保证”和“最少”。
保证：5粒可以保证始终有两粒同色，如少于5粒（比如4粒），我们取红、黄、蓝、白各一个，就不能“保证”，所以“保证”指的是要一定没有意外。
最小：不能取大于5的，如为6，那么5也能“保证”，就为5。
这种传统的解抽屉原理的方法对于一部分考生很容易理解，但是对于有些考生接受起来就要相对困难，这并不是智商的差异，而是人的思维方式不同，接受新事物新方法的能力也不同。所以在这里，本文再介绍一种用寓言故事解决抽屉原理问题的方法。
传说很久以前，古希腊有一位智者被囚禁于敌对国家的城池中，这个国王为了考验智者的聪明才智，给了智者一个装有不同颜色小球的袋子，要求智者每天给国王献上一个小球，但是如果小球的颜色与之前献上小球的颜色相同，便处死智者。智者回去摊开所有小球将其按不同的颜色归类，发现一共有16种颜色的小球，他便每天献上一个不同颜色的小球，而国王便将每天献上的小球摆在书桌上，以检验有无重复的颜色。在这些日子里，智者凭借出色的智谋，将重要的情报通知到祖国，半个月后大兵压境，一举踏平了敌国，智者成为了破敌的最大功臣。
故事看起来很简单，但却给了我们一种考虑问题的方式。当我们拿到一个抽屉原理的题目的时候，就可以去设想这样的一个情景：国王将你（或决定聪明的人）关押，给你一袋球，发给国王，当国王拿到两个同色的球时就处死你（或他），问你怎么发给国王？（前提是你们都不想死）
所以你很快就能得到上面2004年国家公务员考试行政职业能力测验真题的答案。
再让我们看一道真题的例子：
（2007年国家公务员考试行政职业能力测验真题一类题-49题）：从一副完整的扑克牌中至少抽出( )张牌，才能保证至少 6 张牌的花色相同。
A. 21     B. 22     C. 23     D. 24
同样设想情景：国王将你关押，给你一副牌，每天发一张给国王，当国王拿到6张相同的花色时就处死你，问你怎么发给国王？这时别无选择的你只能拖延时间，那么肯定要先抽俩王，然后每花色抽5张，这样一共能够拖延22天，而第23张便是我们的答案。选C。
这样换位思考的方法，对于一部分理解传统方法有困难的考生应该会有帮助。其实解决一道题目可以有很多种方法，有很多种思维方式，为了能将题目做的又快又好，我们可以动用我们
公务员考试行测数学运算解题方法之抽屉问题
http://www.zjgwy.org       2010-05-20      来源：浙江公务员网
【字体：大中小】
《行政职业能力测验》中数量关系部分，有一类比较典型的题——抽屉问题。对许多公考学生来说，这个题型有一定的难度，因为很难通过算式的方式来将其量化。我们知道，公务员考试是测试一个人作为公务员应该具备的最基础的交流、沟通、判断、推理和计算能力。同样，数量关系测试的也不全是个人的运算能力，它更倾向于考察考生的理解和推理能力。抽屉问题就更为显著地贯彻了这一命题思路。
我们先来看三个例子：
（1）3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。
（2）5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个小朋友至少拿了2块手帕。
（3）6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有1个鸽笼至少飞进2只鸽子。
我们用列表法来证明例题（1）：
放  法
抽  屉
①种
②种
③种
④种
第1个抽屉
3个
2个
1个
0个
第2个抽屉
0个
1个
2个
3个
从上表可以看出，将3个苹果放在2个抽屉里，共有4种不同的放法。
第①、②两种放法使得在第1个抽屉里，至少有2个苹果；第③、④两种放法使得在第2个抽屉里，至少有2个苹果。
即：可以肯定地说，3个苹果放到2个抽屉里，一定有1个抽屉里至少有2个苹果。
由上可以得出：
题  号
物  体
数  量
抽屉数
结  果
（1）
苹  果
3个
放入2个抽屉
有一个抽屉至少有2个苹果
（2）
手  帕
5块
分给4个人
有一人至少拿了2块手帕
（3）
鸽  子
6只
飞进5个笼子
有一个笼子至少飞进2只鸽
上面三个例子的共同特点是：物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有2个这样的物体。从而得出：
抽屉原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
再看下面的两个例子：
（4）把30个苹果放到6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？
（5）把30个以上的苹果放到6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？
解答:（4）存在这样的放法。即：每个抽屉中都放5个苹果；（5）不存在这样的放法。即：无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有6个苹果。
从上述两例中我们还可以得到如下规律：
抽屉原理2：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m＋1个或多于m＋l个的物体。
可以看出，“原理1”和“原理2”的区别是：“原理1”物体多，抽屉少，数量比较接近；“原理2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。
以上两个原理，就是我们解决抽屉问题的重要依据。抽屉问题可以简单归结为一句话：有多少个苹果，多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。解此类问题的重点就是要找准“抽屉”，只有“抽屉”找准了，“苹果”才好放。
我们先从简单的问题入手：
（1）3只鸽子飞进了2个鸟巢，则总有1个鸟巢中至少有几只鸽子？（答案：2只）
（2）把3本书放进2个书架，则总有1个书架上至少放着几本书？（答案：2本）
（3）把3封信投进2个邮筒，则总有1个邮筒投进了不止几封信？（答案：1封）
（4）1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有几只鸽子？（答案：1000÷50＝20，所以答案为20只）
（5）从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？（答案：17÷8＝2……1，2＋1＝3，所以答案为3）
（6）从几个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果？（答案：25÷□＝6……□，可见除数为4，余数为1，抽屉数为4，所以答案为4个）
抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。如上面（1）、（2）、（3）题，讲的就是这些原理。上面（4）、（5）、（6）题的规律是：物体数比抽屉数的几倍还多几的情况，可用“苹果数”除以“抽屉数”，若余数不为零，则“答案”为商加1；若余数为零，则“答案”为商。其中第（6）题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。
抽屉问题的用处很广，如果能灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手，实际上却是相当有趣的数学问题。
【例题1】：某班共有13个同学，那么至少有几人是同月出生？（ ）
A. 13 B. 12 C. 6 D. 2
【解析】：找准题中两个量，一个是人数，一个是月份，把人数当作“苹果”，把月份当作“抽屉”，那么问题就变成：13个苹果放12个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放两个苹果。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理1”】
【例题2】某班参加一次数学竞赛，试卷满分是30分。为保证有2人的得分一样，该班至少得有几人参赛？（ ）
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
【解析】毫无疑问，参赛总人数可作“苹果”，这里需要找“抽屉”，使找到的“抽屉”满足：总人数放进去之后，保证有1个“抽屉”里，有2人。仔细分析题目，“抽屉”当然是得分，满分是30分，则一个人可能的得分有31种情况（从0分到30分），所以“苹果”数应该是31＋1＝32。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理2”】
【例题3】 在某校数学乐园中，五年级学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？
【解析】因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天，把400名学生看作400个苹果，366天看作是366个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由“抽屉原则2”知“无论怎么放这400个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有2（400÷366＝1……1，1＋1＝2）个苹果”。即：一定能找到2个学生，他们是同年同月同日出生的。
【例题4】有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？
【解析】把3种颜色的筷子当作3个抽屉。则：
（1）根据“抽屉原理1”，至少拿4根筷子，才能保证有2根同色筷子；（2）从最特殊的情况想起，假定3种颜色的筷子各拿了3根，也就是在3个“抽屉”里各拿了3根筷子，不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少应拿出3×3＋1＝10（根）筷子，就能保证有4根筷子同色。
【例题5】证明在任意的37人中，至少有4人的属相相同。
【解析】将37人看作37个苹果，12个属相看作是12个抽屉，由“抽屉原理2”知，“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有4个苹果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷12＝3……1，3＋1＝4）人属相相同。
【例题6】某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书？
分析：从问题“有1个同学能借到2本或2本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有2个或2个以上的苹果”。所以我们应将40个同学看作40个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。
【解析】将40个同学看作40个抽屉，书看作是苹果，由“抽屉原理1”知：要保证有一个抽屉中至少有2个苹果，苹果数应至少为40＋1＝41（个）。即：小书架上至少要有41本书。
下面我们来看两道国考真题：
【例题7】（国家公务员考试2004年B类第48题的珠子问题）：
有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色 相同，应至少摸出几粒？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】把珠子当成“苹果”，一共有10个，则珠子的颜色可以当作“抽屉”，为保证 摸出的珠子有2颗颜色一样，我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里，摸了4
个颜色不同的珠子之后，所有“抽屉”里都各有一个，这时候再任意摸1个，则一定有 一个“抽屉”有2颗，也就是有2颗珠子颜色一样。答案选C。
【例题8】（国家公务员考试2007年第49题的扑克牌问题）：
从一副完整的扑克牌中，至少抽出（ ）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？
A．21 B．22 C．23 D．24
【解析】完整的扑克牌有54张，看成54个“苹果”，抽屉就是6个（黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王），为保证有6张花色一样，我们假设现在前4个“抽屉”里各放了5张，后两个“抽屉”里各放了1张，这时候再任意抽取1张牌，那么前4个“抽屉”里必然有1个“抽屉”里有6张花色一样。答案选C。
公务员考试中，数量关系历来是许多考生，尤其是文科考生感到头疼的部分，专家为大家总结归纳出数量关系中有关抽屉原理的问题，帮助考生在深刻理解原理的基础上，更好地运用原理，解答公务员考试的真题。
一、抽屉问题原理
抽屉原理最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱运用于解决数学问题的，所以又称为“迪里赫莱原理”，也被称为“鸽巢原理”。
鸽巢原理的基本形式可以表述为：
【定理1】如果把N+1只鸽子分成N个笼子，那么不管怎么分，都存在一个笼子，其中至少有两只鸽子。
证明：如果不存在一个笼子有两只鸽子，则每个笼子最多只有一只鸽子，从而我们可以得出，N个笼子最多有N只鸽子，与题意中的N+1个鸽子矛盾。
所以命题成立，故至少有一个笼子至少有两个鸽子。
鸽巢原理看起来很容易理解，不过有时使用鸽巢原理会得到一些有趣的结论：
比如：北京至少有两个人头发数一样多。
证明：常人的头发数在15万左右，可以假定没有人有超过100万根头发，但北京人口大于100万。如果我们让每一个人的头发数呈现这样的规律：第一个人的头发数为1，第二个人的头发数为2，以此类推，第100万个人的头发数为100万根；由此我们可以得到第100万零1个人的头发数必然为1-100万之中的一个。于是我们就可以证明出北京至少有两个人的头发数是一样多的。
【定理2】如果有N个笼子，KN+1只鸽子，那么不管怎么分，至少有一个笼子里有K+1只鸽子。
举例：盒子里有10只黑袜子、12只蓝袜子，你需要拿一对同色的出来。假设你总共只能拿一次，只要3只就可以拿到相同颜色的袜子，因为颜色只有两种（鸽巢只有两个），而三只袜子（三只鸽子），从而得到“拿3只袜子出来，就能保证有一双同色”的结论。
二、真题解析示例
在历年的国考以及省考中，抽屉问题都是重要的考点，在此我们采用一些经典例题来解析一下抽屉原理的使用：
【例1】从1、2、3、…、12中，至少要选（    ）个数，才可以保证其中一定包括两个数的差是7？
A． 7     B． 10    C． 9     D． 8
【解析】在这12个数中，差是7的数有以下5对：（12，5）、（11，4）、（10，3）、（9，2）、（8，1）。另有两个数6、7肯定不能与其他数形成差为7的情况。由此构造7个抽屉，只要有2个数取自一个抽屉，那么他们的差就等于7。从这7个抽屉中能够取8个数，则必然有2个数取自同一个抽屉。所以选择D选项。
【例2】某班有37名同学，至少有几个同学在同一月过生日？
【解析】在这道题目当中，根据抽屉原理，可以设3 12+1个物品，一共是12个抽屉，则至少有4个同学在同一个月过生日。
熟练掌握抽屉原理，能够帮助各位考生有效提高数量关系类题目的解答速度，这对于寸秒寸金的行测考试来说是非常有利的。考生备考期间，对此类解题技巧和模式要多次练习，达到信手拈来的程度，这样才能在考场上获得胜利。
抽屉原理及其应用：要结合数列进行思考
数学中的抽屉原理源自生活中的普遍现象，三个苹果放入两个抽屉，每个抽屉必须有苹果，则总有一个抽屉有两个苹果。
（2008江苏省公务员录用考试A类）将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多？（ ）
A．2    B．3    C．7    D．无法确定
若要让办公室中桌子数不同，可以按自然数列分放，那么14个房间需要 张，故最少有2个办公室的桌子数是一样的。故选A。
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？
【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
想一想，例2中4改为7，3改为6，结论成立吗？
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。
思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
提示
抽屉原理还可以反过来理解：假如把n＋1个苹果放到n个抽屉里，放2个或2个以上苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放2个或2个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，n个抽屉最多有n个苹果，与“n+1个苹果”的条件矛盾。
运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常，可采用把n个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为12类，自然数可按被3除所得余数分为3类等等。
行测数量关系经典题解——抽屉问题
2009-6-17 14:46:01
《行政职业能力测验》中数量关系部分，有一类比较典型的题——抽屉问题。对许多公考学生来说，这个题型有一定的难度，因为很难通过算式的方式来将其量化。我们知道，公务员考试是测试一个人作为公务员应该具备的最基础的交流、沟通、判断、推理和计算能力。同样，数量关系测试的也不全是个人的运算能力，它更倾向于考察考生的理解和推理能力。抽屉问题就更为显著地贯彻了这一命题思路。
我们先来看三个例子：
（1）3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。
（2）5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个小朋友至少拿了2块手帕。
（3）6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有1个鸽笼至少飞进2只鸽子。
我们用列表法来证明例题（1）：
放  法
抽  屉
①种
②种
③种
④种
第1个抽屉
3个
2个
1个
0个
第2个抽屉
0个
1个
2个
3个
从上表可以看出，将3个苹果放在2个抽屉里，共有4种不同的放法。
第①、②两种放法使得在第1个抽屉里，至少有2个苹果；第③、④两种放法使得在第2个抽屉里，至少有2个苹果。
即：可以肯定地说，3个苹果放到2个抽屉里，一定有1个抽屉里至少有2个苹果。
由上可以得出：
题  号
物  体
数  量
抽屉数
结  果
（1）
苹  果
3个
放入2个抽屉
有一个抽屉至少有2个苹果
（2）
手  帕
5块
分给4个人
有一人至少拿了2块手帕
（3）
鸽  子
6只
飞进5个笼子
有一个笼子至少飞进2只鸽
上面三个例子的共同特点是：物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有2个这样的物体。从而得出：
抽屉原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
再看下面的两个例子：
（4）把30个苹果放到6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？
（5）把30个以上的苹果放到6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？
解答:（4）存在这样的放法。即：每个抽屉中都放5个苹果；（5）不存在这样的放法。即：无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有6个苹果。
从上述两例中我们还可以得到如下规律：
抽屉原理2：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m＋1个或多于m＋l个的物体。
可以看出，“原理1”和“原理2”的区别是：“原理1”物体多，抽屉少，数量比较接近；“原理2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。
以上两个原理，就是我们解决抽屉问题的重要依据。抽屉问题可以简单归结为一句话：有多少个苹果，多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。解此类问题的重点就是要找准“抽屉”，只有“抽屉”找准了，“苹果”才好放。
我们先从简单的问题入手：
（1）3只鸽子飞进了2个鸟巢，则总有1个鸟巢中至少有几只鸽子？（答案：2只）
（2）把3本书放进2个书架，则总有1个书架上至少放着几本书？（答案：2本）
（3）把3封信投进2个邮筒，则总有1个邮筒投进了不止几封信？（答案：1封）
（4）1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有几只鸽子？（答案：1000÷50＝20，所以答案为20只）
（5）从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？（答案：17÷8＝2……1，2＋1＝3，所以答案为3）
（6）从几个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果？（答案：25÷□＝6……□，可见除数为4，余数为1，抽屉数为4，所以答案为4个）
抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。如上面（1）、（2）、（3）题，讲的就是这些原理。上面（4）、（5）、（6）题的规律是：物体数比抽屉数的几倍还多几的情况，可用“苹果数”除以“抽屉数”，若余数不为零，则“答案”为商加1；若余数为零，则“答案”为商。其中第（6）题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。
抽屉问题的用处很广，如果能灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手，实际上却是相当有趣的数学问题。
例1：某班共有13个同学，那么至少有几人是同月出生？（ ） A. 13 B. 12 C. 6 D. 2
解1：找准题中两个量，一个是人数，一个是月份，把人数当作“苹果”，把月份当作“抽屉”，那么问题就变成：13个苹果放12个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放两个苹果。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理1”】
例2：某班参加一次数学竞赛，试卷满分是30分。为保证有2人的得分一样，该班至少得有几人参赛？（   ）    A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
解2：毫无疑问，参赛总人数可作“苹果”，这里需要找“抽屉”，使找到的“抽屉”满足：总人数放进去之后，保证有1个“抽屉”里，有2人。仔细分析题目，“抽屉”当然是得分，满分是30分，则一个人可能的得分有31种情况（从0分到30分），所以“苹果”数应该是31＋1＝32。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理2”
例3. 在某校数学乐园中，五年级学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？
解3：因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天，把400名学生看作400个苹果，366天看作是366个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由“抽屉原则2”知“无论怎么放这400个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有2（400÷366＝1……1，1＋1＝2）个苹果”。即：一定能找到2个学生，他们是同年同月同日出生的。
例4：有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？
解4：把3种颜色的筷子当作3个抽屉。则：
（1）根据“抽屉原理1”，至少拿4根筷子，才能保证有2根同色筷子；（2）从最特殊的情况想起，假定3种颜色的筷子各拿了3根，也就是在3个“抽屉”里各拿了3根筷子，不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少应拿出3×3＋1＝10（根）筷子，就能保证有4根筷子同色。
例5. 证明在任意的37人中，至少有4人的属相相同。
解5：将37人看作37个苹果，12个属相看作是12个抽屉，由“抽屉原理2”知，“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有4个苹果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷12＝3……1，3＋1＝4）人属相相同。
例6：某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书？
分析：从问题“有1个同学能借到2本或2本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有2个或2个以上的苹果”。所以我们应将40个同学看作40个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。
解6：将40个同学看作40个抽屉，书看作是苹果，由“抽屉原理1”知：要保证有一个抽屉中至少有2个苹果，苹果数应至少为40＋1＝41（个）。即：小书架上至少要有41本书。
下面我们来看两道国考真题：
例7：（国家公务员考试2004年B类第48题的珠子问题）：
有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色
相同，应至少摸出几粒？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解7：把珠子当成“苹果”，一共有10个，则珠子的颜色可以当作“抽屉”，为保证
摸出的珠子有2颗颜色一样，我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里，摸了4
个颜色不同的珠子之后，所有“抽屉”里都各有一个，这时候再任意摸1个，则一定有
一个“抽屉”有2颗，也就是有2颗珠子颜色一样。答案选C。
例8：（国家公务员考试2007年第49题的扑克牌问题）：
从一副完整的扑克牌中，至少抽出（ ）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？
A．21 B．22 C．23 D．24
解8：完整的扑克牌有54张，看成54个“苹果”，抽屉就是6个（黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王），为保证有6张花色一样，我们假设现在前4个“抽屉”里各放了5张，后两个“抽屉”里各放了1张，这时候再任意抽取1张牌，那么前4个“抽屉”里必然有1个“抽屉”里有6张花色一样。答案选C。
归纳小结：
解抽屉问题，最关键的是要找到谁为“苹果”，谁为“抽屉”，再结合两个原理进行相应分析。可以看出来，并不是每一个类似问题的“抽屉”都很明显，有时候“抽屉”需要我们构造，这个“抽屉”可以是日期、扑克牌、考试分数、年龄、书架等等变化的量，但是整体的出题模式不会超出这个范围。
【例题2】某班参加一次数学竞赛，试卷满分是30分。为保证有2人的得分一样，该班至少得有几人参赛？（ ）
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
【解析】毫无疑问，参赛总人数可作“苹果”，这里需要找“抽屉”，使找到的“抽屉”满足：总人数放进去之后，保证有1个“抽屉”里，有2人。仔细分析题目，“抽屉”当然是得分，满分是30分，则一个人可能的得分有31种情况（从0分到30分），所以“苹果”数应该是31＋1＝32。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理2”】
【例题3】 在某校数学乐园中，五年级学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？
【解析】因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天，把400名学生看作400个苹果，366天看作是366个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由“抽屉原则2”知“无论怎么放这400个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有2（400÷366＝1……1，1＋1＝2）个苹果”。即：一定能找到2个学生，他们是同年同月同日出生的。
【例题4】有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？
【解析】把3种颜色的筷子当作3个抽屉。则：
（1）根据“抽屉原理1”，至少拿4根筷子，才能保证有2根同色筷子；（2）从最特殊的情况想起，假定3种颜色的筷子各拿了3根，也就是在3个“抽屉”里各拿了3根筷子，不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少应拿出3×3＋1＝10（根）筷子，就能保证有4根筷子同色。
【例题5】证明在任意的37人中，至少有4人的属相相同。
【解析】将37人看作37个苹果，12个属相看作是12个抽屉，由“抽屉原理2”知，“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有4个苹果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷12＝3……1，3＋1＝4）人属相相同。
【例题6】某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书？
分析：从问题“有1个同学能借到2本或2本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有2个或2个以上的苹果”。所以我们应将40个同学看作40个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。
【解析】将40个同学看作40个抽屉，书看作是苹果，由“抽屉原理1”知：要保证有一个抽屉中至少有2个苹果，苹果数应至少为40＋1＝41（个）。即：小书架上至少要有41本书。
下面我们来看两道国考真题：
【例题7】（国家公务员考试2004年B类第48题的珠子问题）：
有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色 相同，应至少摸出几粒？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】把珠子当成“苹果”，一共有10个，则珠子的颜色可以当作“抽屉”，为保证 摸出的珠子有2颗颜色一样，我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里，摸了4
个颜色不同的珠子之后，所有“抽屉”里都各有一个，这时候再任意摸1个，则一定有 一个“抽屉”有2颗，也就是有2颗珠子颜色一样。答案选C。
【例题8】（国家公务员考试2007年第49题的扑克牌问题）：
从一副完整的扑克牌中，至少抽出（ ）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？
A．21 B．22 C．23 D．24
【解
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