蝎子宠物:重要的是“度”的把握——由几则案例谈数学课堂的数学味（张齐华）

直到今天，头脑中依然清晰地记得，在“走进圆的世界”一课以其美轮美奂的画面、诗情画意的语言以及悠扬抒情的音乐而博得一片叫好声的同时，师父张兴华老师丢下的那句刺耳的评价：“一堂好的数学课，真正打动人心的，还应该是数学本身的魅力和力量。除此，别无其他!”

对我而言，这是一次重要的提醒。并且，在随后几年的教学实践与研究中，它始终成为我打磨数学课堂的一个重要尺度，即数学课堂究竟该如何向着数学本身挺进。数学味的回归，正是其题中应有之义。

然而，一旦回到具体的教学语境，问题似乎就比想象的要复杂：撇开数学味是什么、数学味为什么等思辨层面的问题，仅就数学课堂如何去挖掘、呈现、彰显数学内容自身的数学味，就有许多技巧或是实践层面的东西需要我们去面对。事实上，在随后自己所经历的几节研究课中，因为曾一一遭遇过，所以至今记忆深刻。

一

    备“交换律”一课事出有因。同教研组有老师执教此内容，教学线索大致如下：由具体现实情境引出5+4=4+5，并引发学生形成猜想：“是否任意两数相加，交换位置后和都不变?”进而引导学生通过举例，试图验证猜想，并最终得出相应的结论。坦率地讲，整个教学过程轮廓清晰，“猜测——实验——验证”的教学思路泾渭分明，探讨的主要问题也基本在数学范畴内展开。但问题是，所有这一切是否已是数学课堂具备数学味的充分条件?尤其是课堂现场，当一名学生尝试着计算247+678是否等于678+247而遭到同伴讥笑时；当举例在不少学生心目中只是“依葫芦画瓢”，照样子摆两道交换加数位置的加法算式，在未经计算后直接画上等号时；当一部分学生还沉浸在因给定时间内给出了多达十余个例子而获得的快乐之中，而全然不顾这些例子其实只在同一层面上、意义并不大时……我们是否应该做更进一步的思考，即数学课堂上的数学味显然不应该仅停留在表层，尤其是数学内容、数学方法及数学思想的实质等更里层的问题，应该成为我们探讨数学味的重点。

从而，在试图对本课进行重新梳理时，下述问题自然就成了我关注的兴奋点：“由仅有的一个例子鼓励学生提出猜想是否适宜?”“什么是数学上的不完全归纳法?”“对四年级学生来说，试图用不完全归纳法获得结论，举出多少个例子比较合适?”“例子越多越好吗?”“怎样的例子是好的例子，怎样的例子是不好的例子?”“举例验证猜想时，我们要不要关注反例?反例对猜想意味着什么?”进而，“举例的过程仅仅是一个模仿与复制的过程，还是一个主动思考并进行试探与甄别的过程?”“经由不完全归纳法所给出的能不能算作结论?如果不算，小学课堂该不该引入必要的证明?”

应该说，上述思考正是对数学课堂内在数学味的一种更为深入的探寻与挖掘，其意图也在备课过程中得到了同教研组不少老师的认同。然而，围绕上述问题而展开的新一轮的教学实践事实上并没有获得预期的效果。尤其是，某大型教研活动后，孩子们给出的如下质疑声将现实与理想的巨大落差直接展现在大家面前：“其实，我本来觉得交换律还是挺简单的，但上完这节课，我反而糊涂了!”一节基于对数学内涵有着深度开掘的数学课，为何反而使学生不知所云?课后交流时，评课者中一句轻轻的提醒让大家一下子如拨云见日：“数学课堂深入挖掘数学内涵无疑是必需的，但如果试图将教师所获得的所有深刻理解都转化为具体的教学行为，并经由这样的行为使学生获得同样的深刻理解与体验，这样的企图恐怕就有些不切实际了。说到底，课堂不应该是教师精湛数学功底的独白或独舞!”

一语中的啊!于是，第一次的尝试虽因用力过猛而烙上了失败的标签，但收获毕竟还是实实在在的：在具  体的教学语境中，好的数学味一定还伴随着必要的儿童视角和立场!

二

接着便是“分数的意义”一课的教学实践。一节经典的老课，教学线索与理路也基本定型。但在试图对数学内涵进行深入梳理时，不经意间却被几个小问题所梗住：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数是分数，这是分数意义的形式化表达，可这里的单位“1”究竟是什么?数学上，为什么我们把这些平均分的对象叫做单位“1”，而不是别的什么名称，比如整体“厂”或是对象“1”?称其单位“1”究竟只是一种纯粹的数学规定，还是另有其数学的合理性?进而，与百分数不同的是，分数既可以表示两个量之间的倍比关系，还可以表示一个具体的数，用数学上的专业术语来讲，分数既有其无量纲性，同时还具有量纲性。事实上，理解到这一点，对于未来学生更深入地理解分数的实质，以及对分数直接进行大小比较(不提供直观图的情况下)、分数和小数的互化以及理解分数乘除法实际问题的数量关系等，无疑具有重要的意义。然而，反观各版本教材，在安排这一内容时所选择的素材与呈现的情境，仍局限在“部分与整体的关系”这单一的维度，即分数的无量纲性上，分数始终只是在“把整体看作1时，其中的一部分如何用数学符号来表征”的情境下得以呈现的，而其所理应具备的有量纲性的一面，却未能在具体的教学编排中得到相应的体现。事实上，由无量纲性向着有量纲性的跨  越对学生来说是有一定的难度的，默认这种跨越可以自然而然地生成，实际上缺乏理论的支撑，在实践层面也不具备说服力。此外，教材在编排分数意义这一内容时，似乎对如何更好地沟通分数、1及整数之间的关系也缺乏必要的关注，从而，“分数的意义”一课在许多时候还只停留在就分数论分数的层面，对于如何促进学生更好地形成有关数的整体认知图景，还缺乏相应的实践指导。

    由此，笔者执教这一内容时，由对单位“1”的探讨引入：先引导学生认识“1”这个数的包容性，即所谓“1个苹果可以看做1，3个苹果也能看做1，6个、12个苹果同样能看做1”。然后经由讨论，使他们进一步理解到，一旦在某一语境下，我们将3个苹果看做了“1”，那么，6个或12个苹果通常就不再看做“1”，而应该看做“2”或“4”了。理由很简单，3个苹果既已看做“1”，6个苹果中包含2个这样的“厂”，当然就是“2”，12个苹果亦然。事实上，在上述情境及过程中，我们已然发现，3个苹果所构成的“1”其实已经成为一个计数或计量的单位，此时，称其为单位“1”已是顺流而下的事，不再勉强。

    进而，再通过引导学生经历“把1个月饼看做单位‘1’，5个月饼可以看做(  )，3个月饼可以看做(  )；把一个月饼平均分成4份，其中的3份可以看做(  )”的完整过程。这既丰富了学生对单位“1”的内涵的把握与理解，又有效地沟通了整数、1及分数之间的内在联系，并使学生在结构性的框架中获得“无论整数也好，分数也罢，其实都是以单位‘1’作标准计量后的结果——如果包含若干个单位‘1’，则可用整数表示；如果不足一个单位‘1’，则可根据把单位‘1’平均分的份数及表示的份数，用分数来表示”。分数意义的实质恰在这一过程中获得了更为有效的建构。

进步是毋庸置疑的。和“交换律”相比，“分数的意义”一课尽管在深度开掘教学自身的内涵上仍与前者保持高度的一致，但后者在如何基于学生已有的知识经验，通过必要的教学引导与策略促进学生获得对数学的深刻理解上，还是与前者有着本质的不同。至少在某种意义上，数学没有在课堂上成为教师唯一关注的东西，儿童的知识经验、思维意趣获得了足够的尊重与关注。

然而，评课过程中仍有教师无情地指出：“深度固然让人叹为观止，但课堂上，学生总有一种被教师牵引着去领略美好风光的意味。风景固然很诱人，但学生一路亦步亦趋，在教师精心设定的参观线路上被动行走，如此这般，风景再美又如何?”想来也是!课堂本应属于学生，回归数学的同时，如果儿童永远只是处于被动欣赏、感悟的境地，那么，这样的数学内涵对学生而言，其意义与价值又有多大呢?

三

恰逢执教“平均数”一课。于是，决定重振旗鼓，在汲取经验与教训的基础上，试图在数学内涵与儿童立场之间找寻一种新的平衡。

作为反映一组数据整体水平的一种统计量，平均数与众数及中位数既有相似之处，又有明显的不同。无疑，如何将平均数置于统计的角度来审视，并努力开掘出其应有的统计意义与价值，当是这节课首要关注的问题。教材多采取“比较”的情境，由于“两组人数不均的小组开展相应比赛，比总数不公平，所以应比平均每人的个数”，由此引入平均数。(对教材的反思）但在备课过程中，随着思考的不断深入，新的问题不断涌现。首先，作为一个重要的统计学概念，平均数是否首先或主要地源自于比较的现实需求?事实上，就本人的视野而言，并无足够的资料能够对此做出正面的判断，此处不赘述。其次，“平均每人投中的个数”和“每人投中个数的平均数”之间是否可以直接画上等号?事实上，前者指向于将原始数据合并后重新分配，以使其变得均匀的一种动作，而后者则更侧重于表示一组数据的整体水平的一种状态。倘若如此，作为能够代表一组数据的整体水平的平均数，其“代表性”如何能够更好地为学生所理解与把握?再者，平均数既是统计学中的一个重要概念，那么，其诞生理应处于一个统计的活动背景之中，这是比较合理的一种预期，但事实上，不同版本的教材所呈现的问题情境，统计的意味似有似无，体现得都不够充分。为此，设计教学时，我微调了教材中的情境结构，通过呈现如下的活动序列，将平均数重新置于统计背景下，并力图还原其作为“一组数据的代表”的角色与身份，再现平均数的本来面目——

    张老师和小明、小刚、小强进行一分钟投篮赛，以每分钟进球多少论胜负。

    小明先投，结果一分钟仅投中5个，他不满意自己的成绩，提出想再投两次的要求。老师该不该同意他的要求?经过讨论并最终获得同意后，小明再投，结果第二、三分钟均投中5个。此时引导思考：小明一分钟究竟能投中几个?用哪个数表示他一分钟的成绩比较合适?为什么?

小刚第二个出场，结果一分钟投中3个，他会提出怎样的要求?当征得同意后，他第二、第三分钟分别投中4个、5个。引导思考：3次成绩各不相同，用哪个数表示小刚一分钟的个数比较合适?为什么?

小强第三个出场，3分钟各投中3个、7个和2个。此时，又该用哪个数表示他一分钟的水平?为什么?至此，在“移多补少”的直观操作和“先合并再均分”的抽象算法的基础上，揭示平均数，并帮助学生认识到平均数对于描述一组数据的整体水平的意义。

张老师最后出场，一开始便提出“水平不行，想投4次”的打算，如果是你，你会同意老师的请求吗?在征得同意后，张老师前3分钟的成绩分别是4个、6个、5个，你觉得最后张老师会赢得这场比赛吗?为什么?出示第四次成绩(1个)后，学生再度讨论：张老师赢了没有?为什么输了?如果最后一次投中5个或者9个，结果会怎样?等等。至此，概念建立告一段落。

回顾上述环节，同样是比赛的主题情境，但其根本立场和视角已然发生转变。其一，由于相关数据是由同一个体所产生，求其总数显然不具备充分的现实意义，而相对来说，从产生的这组数据中选择一个或“另外创造”一个以代表这组数据的一般水平，对学生而言似乎更容易理解。事实上，笔者在三年级部分学生中所进行的访谈与相关实验，已经支持了这一观念预设。从而，对于平均数的产生而言，这更可以算是一个好的情境。其二，情境中大量充斥着“他想再投两次，该不该给他这个机会?”“老师想多投一分钟，行还是不行?”“你觉得老师最后一定会赢吗?”“最后，老师为什么反而输了?”这样的问题，看似与平均数无关，但实则高度相关。仅以第一问为例，当小明一分钟投完仅得5个时，我们究竟该不该让他再投两分钟?试想，当学生最终通过讨论与思维交锋，同意小明的这一请求时，对学生而言，这究竟意味着什么?——投篮的次数并不是决定最后输赢的关键要素，多次成绩背后所呈现出的一组数据的分布、离散情况及其所反映出的一般水平，才最终决定着一个人的实际水平，并最终决定着他的输赢。试想，经由这样的思考、获得类似的体验后，学生如何能够不对平均数获得更为丰富的理解和把握呢?

不得不承认，同样在对教学内容进行深入思考与内涵开掘后，本课选择了以儿童能够悦纳的一种姿态介入——游戏、讨论、对话、思辨。尽管教师于其中也有竭力想传达和渗透的教学意图和数学内涵，但他努力避开了抽象的说教和示范，而是选择了以一种更具亲和力、更富情境化的思维场域，让学生在思考、交流的过程中去获得相关体验、领悟相关意图、获得某种建构。

    从这一意义上来讲，这是对前两节课的一种超越。并且，这种超越还给我们的数学课赋予了一种新的启示——那就是，具有良好数学内涵的课堂，一定是深入浅出的，它能够将教师领悟到的深刻的数学理解以一种平和的、学生可以理解并悦纳的姿态介入课堂活动，并努力在数学内涵与儿童趣味之间找到一种良好的平衡。

    而这，不正是我们试图发现并建构的兼具数学味与儿童性的好的课堂吗?

（该文已经刊发于《江苏教育·教学版》2010年第4期)