零售痛图标:sBRDF空间双向反射分布函数完全解析

声明：本文大部分内容基于Ph.D David K. McAllister的博士论文《A GENERALIZED SURFACE APPEARANCE REPRESENTATION FOR COMPUTER GRAPHICS》以及《GPU Gems1》里他的文章。如果有兴趣推荐大家研究博士论文原文，其中关于用相机对材质进行采样的一段非常有趣。我重构他的代码生成了一个简单的命令行工具可以从他的SVB格式中抽取出基本的纹理。他的代码用VC8编译有不少问题，我修复了大部分，主要是在库的链接以及C++的语法上，完全修复用VC6编译一次看看。马上又要考试了，再不看书要挂科了。

一、悉数光照模型

Phong光照模型是基于经验的局部光照模型，拥有漫反射Diffuse以及镜面反射Specular的效果，但是却省略了一切物理光学特性。可是目前的图形API和硬件都是按照Phong光照模型设计的。

Torrance et al.提出的Microfacet-Based Equation微平面公式模拟了大部分材质表面的特性。具体形式如下：

D代表任意一种分布函数，包括Gaussian分布函数或者是带指数项的Cos函数。

G是几何衰减系数，可以由表面被遮挡的程度或者是阴影来表示。（PS:Ambient Occlusion?）

F是菲涅尔Fresnel衰减系数。

MBE已经被Debevec et al.修正后用于人类皮肤模拟。

Ward 1992提出的Ward反射模型使用了椭圆型高斯锐化函数Elliptical Gaussian Sharpness Function在物体表面模拟了一个十字形的各项异性高光Anisotropic Highlights，可惜依旧不是基于物理特性的。（PS:有兴趣的朋友可以打开3dsmax等工具的材质编辑器试验一下）

二、Lafortune BRDF表达式的出现

BRDF使用若干个基本函数表现物体表面的光学特性。这些函数主要包括，spherical harmonics球面调和函数，spherical wavelets球面波，Zernike多项式。不过这些函数都不是专门为BRDF设计的。所以在使用BRDF时总是需要很多数据。一般来说50到200个系数才可以足够完美的表现。最麻烦的是，这些系数并不可以通过经验得来，必须要通过采集，所以设计一个通用的BRDF接口还很难做到。

下面是McAllister制作的采集装配：（PS:我想应该可以找个ARM单片机以及几个步进电机完成自动采集）

幸运的是，Lafortune, Foo et al. 1997引入了一个简单而十分有效的BRDF表达式，它的最大特点是用几个Lobe叶片就模拟了BRDF，而且最最重要的是，一切数值都可以简单得用纹理表示，所以现在我们可以简单的使用GPU进行实时渲染。入射向量以及反射向量都被转化到Local Coordinate局部坐标系中计算，避免了只有使用很多系数才能获得满意效果的窘境。还是让我们看一下Lafortune表达式：

其中ρ_d是漫反射项，右边的求和式代表各种高光叶片Specular Lobe凸起形状的和，也就是表现了我们注视模型上那一点的时候所看到的高光形状。每一个叶片Lobej都有一个反照率ρ_s,j以及表达叶片形状Lobe Shape函数s_j，还有最重要的入射出射向量ω_i和ω_r。Lobe Shape写成如下矩阵式：

我们当然可以直接写成：

一切的“魔术”都在控制C_xC_yC_z3个系数上。通过调整这三个系数，我们就可以实现各项异性Anisotropic材质表面的光照效果。

三、深入剖析

我把Ph.D McAllister叙述的sBRDF的计算方法总结归纳了一下。

ρ_d的计算比较繁琐。如果你安装了NVIDIA SDK 9.5，其中的HDR演示程序就使用了HDR Diffuse贴图。（PS：NVIDIA Geforce FX5900的演示程序Dawn里仙女皮肤表面的Diffuse项是通过计算法线与入射光夹角的余弦加权平均值计算得到的）。Lafortun与许多其他Image-Based基于图像的算法Pulli, Cohen et al. 1997; Rushmeier, Bernardini et al. 1998把这一项当作bi-directional reflectance samples双向反射样本的最小值：

f_r,k是当前像素处第k个反射样本。

可是这仅仅是理论上的成立。真实情况下，用仪器测得的数据是会有错误的，因为我们无法保证样本总是完美的。Marschner (Marschner 1998)提出的方法就是上述被NVIDIA所使用的方法，其中的Weight权等于N•ω_i与N•ω_r的乘积。

有条件的朋友还可以这样：跑到室外选择一个场景，用多个曝光度拍摄环景照片，使用Paul Debevec的HDRShop在每个定角度对环境光的颜色和强度进行编码，创建漫反射查找表十字型Cube Map立方体贴图。

样图如下

然后让我们来处理求和式。当我们计算得到了ρ_d后，系统将每个Specular Lobe高光叶片形成的高光进行削减，下面的公式表现了这个操作。其中ω_i,k和ω_r,k依旧是入射和出射向量：

为了求得所有色彩通道都可以使用的数值，接下来，使用下式计算每一个luminance-weighted average of each fs,k经过亮度权调整过的fs,k的平均值：（PS：这是SONY Trinitron的数据，更加一般的系数是ITU HDTV标准 0.2125, 0.7154, 0.0721以及用于CRT显示器非线性色彩的0.299, 0.587, 0.114）

由于Lafortune表达式是一个非线性函数的叠加，所有的系数必须使用非线性方法进行重估。McAllister使用了Levenberg-Marquardt (L-M) method (Presse, Flannery et al. 1988)，简称LM方法。（PS：具体L-M算法代码大家可以不必惊慌，我们可以用Tech-X Corporation的免费TxMath库。其中包含了L-M算法的实现，McAllister也使用了这个库。）

使用L-M需要一些已知的叶片系数。比如表现一个向前散射的叶片可以让Cx = -1，Cy=-1，Cz = 1，n = 10，向后散射叶片Cx=1，Cy=1，Cz=1，n=5。我们也可以使用随机的数值。

L-M还需要fs,k公式的Jacobian Matrix雅各比矩阵。计算方法如下：使用一个很小的Epsilon调整参数多次计算模型上的每一个点。由于计算时间过长，这部操作还无法变成图形软件中的插件使用与实时计算，只有预先离线计算好。McAllister指出这个优化方法非常适合一个或者两个叶片，更多的就不适合了。如果只有一个或者两个叶片预测的准确度高达90%以上。

如果我们不使用L-M方法，McAllister还展示了一个只针对于一个叶片的搜索方法。将fs,k写成这样，使用Brent Line Search搜索算法搜索：

返回使得误差数值最小的那一组Cx Cy Cz n。

啊哈，最后我们终于得到了镜面项：

四、渲染

首先我们需要准备一些材料，包括模型表面的N法向量，T切向量。（PS：曾经看过许多关于切线T的计算，无一例外的都是说可以简单的使用纹理st的方向代替，这对于部分UV贴图的简单模型可能管用，但是对于复杂的有凹的物体来说肯定是不正确的）。T切向量的计算方式如下，假设一个三角形由3个顶点坐标P0 P1 P2和3个纹理坐标 ：

如何使用Tangent呢？对于NVIDIA Geforce6系列后的显卡你可以尝鲜使用Vertex Texture，Ati Radeon X1000系列的卡可以使用R2VB，或者更加直接的使用Vertex Attribute传入Shader。至于Binormal你可以直接在Vertex Shader中使用cross叉乘得到。

GPU GEMS 上他展示的是Cg Shader，这里我把它改成了GLSL的。等我完成了一个GL基础库后放上DEMO。

这是Fragment Shader：

uniform

Expos;
uniform sampler2D Diffus;
uniform sampler2D LobeShape[NUM_LOBES];
uniform sampler2D Albedo[NUM_LOBES];
uniform samplerCube EnvDiffuse;
uniform samplerCube EnvSpec;

varying vec2 TexUV;//Texcoords

vec3 f3texCUBE_RGBE(samplerCube map,vec3 N)

{
vec4 rgbe =

textureCube(map,N);
float f = ldexp(1.0,rgbe.w - 136.0

);
return vec3(rgbe*

f);
//return vec3(0.0,0.0,0.0);

vec3 f3texCUBE_RGBE_Conv(samplerCube map,vec3 normal,

N)

{
vec4 rgbe =

textureCubeLod(map,normal,N);
float f = ldexp(1.0,rgbe.w - 136.0

);
return vec3(rgbe*

f);
}

vec3 ApplyLobe(vec3 toeye,vec4 lobeshape,vec3 lobealbedo,vec3 T,vec3 B,vec3 N,samplerCube tex_s)

{
vec3 Cwr_local = lobeshape.xyz *

toeye;
//transform lobe peak in world space

TBN Matrix
Tx Ty Tz
Bx By Bz
Nx Ny Nz

TBN InverseMatrix just is
Tx Bx Nx
Ty By Ny
Tz Bz Nz

Cwr_world.x = dot( vec3(T.x,B.x,N.x), Cwr_local);

mat3 TBNMatrixInverse

mat3(T,B,N);
vec3 Cwr_world = Cwr_local*

TBNMatrixInverse;

float sharpness =

lobeshape.w;
vec3 incrad =

f3texCUBE_RGBE_Conv(tex_s,Cwr_world,sharpness);

float lobelen = pow(dot(Cwr_world,Cwr_world),sharpness*0.5

);

vec3 irrad = incrad*(Cwr_local.z*

lobelen);
vec3 radiance = irrad*

lobealbedo;
return

radiance;

}

main()

{
vec4 lobe_shape[NUM_LOBES];
vec4 lobe_albedo[NUM_LOBES];
for(int p=0; p

{
lobe_shape[p] = texture2D(LobeShape[p],TexUV.st) + vec4(SCL,SCL,SCL,EXSCL) - vec4(BIAS,BIAS,BIAS,0.0

);
lobe_albedo[p] =

texture2D(Albedo[p],TexUV.st);
}

vec4 diff_albedo

texture2D(Diffus, TexUV.st);
vec3 exrad = vec3(0.0,0.0,0.0

);
for(int l = 0;l

{
exrad +=

ApplyLobe(EyeVec,lobe_shape[l],lobe_albedo[l].xyz,TanVec,BinVec,NrmVec,EnvSpec);
}

vec3 irrad

f3texCUBE_RGBE(EnvDiffuse,NrmVec);
exrad += (diff_albedo.xyz*

irrad);
vec4 final_color = vec4(exrad*

Expos,diff_albedo.w);


gl_FragColor =

final_color;

}

　　这是Vertex Shader：

attribute vec3 Tangent;

uniform vec3 EyePosInWorld;
uniform mat4 ObjectToWorldMatrix;
uniform mat4 ObjectToWorldInverseTransposeMatrix;//XXX!!!

varying vec2 TexUV;//Texcoords
varying vec3 EyeVec;//Vector to Eye in Local Space
varying vec3 TanVec;//Tangent In World Space
varying vec3 NrmVec;//Normal In World Space
varying vec3 BinVec;//Binormal In World Space

void main()
{
TexUV = gl_MultiTexCoord0.st;
vec3 VertexInWorld = vec3( gl_Vertex*ObjectToWorldMatrix );
EyeVec = normalize( EyePosInWorld - VertexInWorld );
NrmVec = normalize( vec3(vec4(gl_Normal,1.0)*ObjectToWorldInverseTransposeMatrix) );
TanVec = normalize( vec3(vec4(Tangent,1.0)*ObjectToWorldInverseTransposeMatrix) );
BinVec = cross(NrmVec,TanVec);
gl_Position = ftransform();

}

　　来自sBRDF网站的样本图片：

原文以及相关的资料大家可以在这里找到：

http://sbrdf.cs.unc.edu/index.html

　　我编译好的命令行工具以及一个SVB样本：

http://webdisk.cech.com.cn/download/file_share_3252301.html