有品味的英文图片:中考数学试题专题 矩形、菱形、正方形试题及答案

中考数学试题专题 矩形、菱形、正方形

一、选择题

1.（2009年湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中

点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（    ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

2.．（2009年山西省）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（    ）

A．      B．         C．      D．

3.（2009 黑龙江大兴安岭）在矩形中，，，平分，过点作于，延长、交于点，下列结论中：①；②；③ 

；④，正确的     （      ）

A．②③ B．③④

C．①②④ D．②③④  

4．(2009年河北)如图1，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对

角线AC等于（    ）

A．20    B．15

C．10   D．5

5.（2009年兰州）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是

6.（2009年济南）如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（    ）

A．1.6    B．2.5     C．3 D．3.4

7.（2009年凉山州）如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

8.（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是

A.     B.      C.        D. 

9.（2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中正确 的个数为（     ）

①DE=3cm； ②EB=1cm； ③．

A．3个   B．2个    C．1个 D．0个

10.（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（    ）

A．1   B．    C．   D．2

11．（2009年广西南宁）如图2，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（    ）

A． B． C． D．

12.（2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（    ）

A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形

C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

13．（2009桂林百色）如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放

在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿

图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点

出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个

过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为

（     ）．

A．2    B．     C．    D．

14．（2009河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为，则菱形的面积为（    ）

A．   B．     C．     D． 

15.（2009年杭州市）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（    ）

A．35°        B．45°        C．50°        D．55°

16.(2009年义乌)如图，一块砖的外侧面积为，那么图中残留部分墙面的面积为

A．         A．             A．            A．

17.（2009年台湾）  如图(八)，长方形ABCD中，E点在上，且平分ÐBAC。

   若=4，=15，则rAEC面积为何？

   (A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 。

18. （2009年台湾）图(十二)中，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、

   丁四个矩形，其中P在上，且：=：=4：3。

下列对于矩形是否相似的判断，何者正确？

   (A) 甲、乙不相似 (B) 甲、丁不相似 (C) 丙、乙相似

   (D) 丙、丁相似。

19.（2009年滨州）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（    ）

A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形

【关键词】矩形的判定.

【答案】A

20.（2009仙桃）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（   ）．

A、     B、2     C、3     D、

21.（2009年桂林市、百色市）如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿

图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点

出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个

过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为

（    ）．

A．2    B．     C．    D．

22.（2009年郴州市）如图2是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（　　）

A．4cm           B．6cm            C．8cm        D．10cm

23.（2009年长春）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

24．（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形

25．（2009年甘肃庆阳）如图4，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（　　）

A． B． C． D．

26.（2009年烟台市）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（    ）

A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm

27.（2009泰安）如图，双曲线经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为

（A）         （B）

（C）           （D）

28.（2009年湘西自治州）13．在下列命题中，是真命题的是（　　）

A．两条对角线相等的四边形是矩形

    B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

29．（2009年南宁市）如图2，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（    ）

A． B． C． D．

30. （2009年重庆市江津区）如图：在菱形ABCD中，AC＝6, BD＝8,则菱形的边长为（         ）

A.  5            B. 10             C. 6            D.8

31.（2009年包头）下列图形中，既是图形的有（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

32.（2009年长沙）如图，矩形的两条对角线相交于点，，则矩形的对角线的长是（    ）

A．2 B．4 C． D．

33.（2009年莆田）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（    ）

A．处    B．处 C．处       D．处

34．（09湖北宜昌）如图1，由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 (  )．

基本图案

图1           A．           B．         C．         D．

35．（2009年漳州）如图，要使成为矩形，需添加的条件是（    ）

A． B．     C．     D．

36. （2009年赤峰市）将一张三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是              （    ）

   A、三角形        B、平行四边形     C、矩形     D、正方形

37．（2009四川绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =D

A．1:3           B．3:8          C．8:27            D．7:25

38．（2009四川绵阳）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60° 的菱形，剪口与折痕所成的角a 的度数应为

A．15°或30°    B．30°或45°      C．45°或60°       D．30°或60°

39．（2009眉山）下列命题中正确的是( )

A．矩形的对角线相互垂直 B．菱形的对角线相等

C．平行四边形是轴对称图形 D．等腰梯形的对角线相等

40．（2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 （     ）   

（A） 70°     （B） 65°       （C） 50°   （D） 25°      

41.(2009年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（     ） 

A．       B．        C．3        D．

二．填空

1.（2009年湘西自治州）长方形一条边长为3cm，面积为12cm2，则该长方形另一条边长为         cm．

2．（2009白银市）如图6，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　　．

3．（2009泰安）如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为                   。

4.（2009江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离则        度．

5. （2009年烟台市）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是        ．

6.（2009年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是        ．

【关键词】矩形、正方形、菱形的性质及判定

【答案】正方形（对角线互相垂直的四边形均可）

7.(2009年牡丹江市)矩形中，对角线、交于点，于若则        ．

8．（2009年甘肃白银）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　　．

9．（2009年甘肃庆阳）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积

=        cm2．

10．（2009年长春）如图，，矩形的顶点在直线上，则         度．

11．（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为         （结果保留）．

12. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．

（1）线段的长是               ，

的度数是              ；

（2）连结，求证：四边形是平行四边形；

（3）求四边形的面积．

13．（09湖北宜昌）如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是      ．

14.（2009年莆田）如图，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件：             ，使得该菱形为正方形．答案：或或等

15.(2009年上海市)17．在四边形中，对角线与互相平分，交点为．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是        ．

16. （2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）

17.(2009年安顺)如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在______点。

18.(2009成都)如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____．

19. (2009年安顺)若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度。

20.（2009湖北省荆门市）如图，正方形ABCD边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______（用含自然数n的式子表示）．

21.（2009年杭州市）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．

22．矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为      平方单位．

23、(2009年鄂州)如图，四边形ABCD中，AD∥BC已知BC＝CD＝AC＝2，AB＝，则BD的长为________.

25．（2009年崇左）如图，正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为              ． 

27．(2009年甘肃定西)如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　　．

28. (2009年本溪)如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形的周长为24，则的长等于           ．3

【关键词】菱形的周长

【答案】3

31．（2009年牡丹江）矩形中，对角线、交于点，于若则        ．

33．（2009 年佛山市）正方形有　　　　　　　条对称轴．

34．（2009年山东青岛市）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是          ．

35．（2009年湖北十堰市）                   的平行四边形是是菱形（只填一个条件）．

36．（2009年漳州）如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是_____________．

37．（2009年哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为           ．

38．(2009年温州)如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA7恰好与6)0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是    

39．（2009临沂）如图，在菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则________度．

41．（2009年赤峰市）菱形的对角线长分别是16cm、12cm，周长是                。

42.（2009贺州）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是          cm2．

43.（2009青海）如图3，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，

需要添加的条件是      （只填一个你认为正确的即可）．

44.（2009辽宁朝阳）已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为______________．

45.(2009年梅州市)如图4，把一个长方形纸片沿折叠后，点

分别落在的位置．若，则等于_______度．

三．解答题

1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F. 

(1) 求证：DE－BF = EF．

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． 

(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

2．（2009年山东青岛市）已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．

（1）求证：；

（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．

3．（2009 年佛山市）如图，在正方形中，．若，求的长．

4．（2009 年佛山市）（1）列式：与的差不小于；

（2）若（1）中的（单位：）是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加，

则正方形的面积至少增加多少？

5.（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

6. (2009年达州)如图7，在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状，并说明理由.

7．（2009年中山）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．

（1）求矩形的面积；

（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．

8．（2009肇庆）如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，．  

（1）求证：△ABD是正三角形； 

（2）求 AC的长（结果可保留根号）． 

9．（2009肇庆）如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． 

（1）求证：； 

（2）求证：．

10．（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；

11.（2009年广西梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于

点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

（1）求证：AD＝CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是  ★  ．

12. （2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.

（1）求证：AM=DM；

（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

13．（2009年日照市）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．      

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

14.（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

    (1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；

       ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；

    (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

16．（2009年孝感） 三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．

请回答：

（1）牧童B的划分方案中，牧童   ▲   （填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；（3分）

（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）（5分）

17.（2009年娄底）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

（1）求证：△ABE≌△ACE

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是

菱形？并说明理由.

18.（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片、如图7放置，，求证：四边形为菱形．

20. （2009山西省太原市）如图，是边上一点，．

（1）在图中作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）在（1）中，过点画的垂线，垂足为点，交于点，连接，将图形补充完整，并证明四边形是菱形．

21. （2009山西省太原市）

问题解决

如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．

类比归纳

在图（1）中，若则的值等于         ；若则的值等于         ；若（为整数），则的值等于         ．（用含的式子表示）

联系拓广

   如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于         ．（用含的式子表示）

22. （2009襄樊市）如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 

   （1）求证：四边形是菱形；

   （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？

24. (2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

（1） 求证：BD=CD；

（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：；

（2）如果，求的值．

25.（2009年北京市）阅读下列材料：

小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：

（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）. 

26. （2009年北京市）在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

29．（2009年安徽）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．

（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；

（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？

30.（2009年安徽）．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰

能拼成一个矩形（非正方形）．

（1）画出拼成的矩形的简图；

（2）求的值．

31.（2009年郴州市）如图9，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．

32.(2009年陕西省)

问题探究

（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由．

（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．

问题解决

如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积（结果保留根号）．

33.（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：；

（2）如果，求的值．

34.（2009威海）如图1，在正方形中，分别为边上的点，，连接交点为．

（1）如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；

（2）将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为3cm，，则图3中阴影部分的面积为_________．

35.（2009年贵州省黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。

（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。

（2）求h的值。

36.（2009年江苏省）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．

（1）与有何等量关系？请说明理由；

（2）当时，求证：是矩形．

37.（2009年浙江省绍兴市）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形中，点在边上，连，，则点为直角点．

（1）若矩形一边上的直角点为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；

（2）若点分别为矩形边，上的直角点，且，求的长．

38．（2009年广西南宁）如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且360docimg_501_，360docimg_502_.

（1）求360docimg_503_∶360docimg_504_的值；

（2）延长360docimg_505_交正方形外角平分线360docimg_506_（如图13-2），试判断360docimg_507_的大小关系，并说明理由；

（3）在图13-2的360docimg_508_边上是否存在一点360docimg_509_，使得四边形360docimg_510_是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

360docimg_511_

39.（2009年清远）如图，已知正方形360docimg_512_，点360docimg_513_是360docimg_514_上的一点，连结360docimg_515_，以360docimg_516_为一边，在360docimg_517_的上方作正方形360docimg_518_，连结360docimg_519_．

求证：360docimg_520_

360docimg_521_

40.（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

360docimg_522_

42.（2009年广州市）如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。

（1）若AG=AE，证明：AF=AH；

（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。

44.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形360docimg_523_的两顶点360docimg_524_、360docimg_525_分别在360docimg_526_轴、360docimg_527_轴的正半轴上，点360docimg_528_在原点.现将正方形360docimg_529_绕360docimg_530_点顺时针旋转，当360docimg_531_点第一次落在直线360docimg_532_上时停止旋转，旋转过程中，360docimg_533_边交直线360docimg_534_于点360docimg_535_，360docimg_536_边交360docimg_537_轴于点360docimg_538_（如图）.

360docimg_539_（1）求边360docimg_540_在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当360docimg_541_和360docimg_542_平行时，求正方形

  360docimg_543_旋转的度数；

（3）设360docimg_544_的周长为360docimg_545_，在旋转正方形360docimg_546_

的过程中，360docimg_547_值是否有变化？请证明你的结论.

45.（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．

（1）求证：DA⊥AE；

（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

360docimg_548_    

46．(2009年南充)如图5，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，360docimg_549_于E，360docimg_550_，交AG于F．

求证：360docimg_551_．

360docimg_552_

48．(2009年湖州)如图：已知在360docimg_553_中，

360docimg_554_，360docimg_555_为360docimg_556_边的中点，过点360docimg_557_作360docimg_558_，

垂足分别为360docimg_559_.

（1） 求证：360docimg_560_；

（2）若360docimg_561_，求证：四边形360docimg_562_是正方形. 

360docimg_563_

49．（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．360docimg_564_，且EF交正方形外角360docimg_565_的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证360docimg_566_，所以360docimg_567_．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

   （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

360docimg_568_

．

51.（2009年遂宁）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.

360docimg_569_⑴求证：EF+GH=5cm；

⑵求当∠APD=90o时，360docimg_570_的值．

52.(2009年咸宁市)如图，将矩形360docimg_571_沿对角线360docimg_572_剪开，再把360docimg_573_沿360docimg_574_方向平移得到360docimg_575_．

（1）证明360docimg_576_；

360docimg_577_（2）若360docimg_578_，试问当点360docimg_579_在线段360docimg_580_上的什么位置时，四边形360docimg_581_是菱形，并请说明理由．

53．（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．

(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)360docimg_582_与 360docimg_583_是否相等？请你说明理由；

(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．

设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考)   

360docimg_584_360docimg_585_360docimg_586_

图1                         图2                    图3

（第3题）

54．（09湖南邵阳）如图（十二），直线360docimg_587_的解析式为360docimg_588_，它与360docimg_589_轴、360docimg_590_轴分别相交于360docimg_591_两点．平行于直线360docimg_592_的直线360docimg_593_从原点360docimg_594_出发，沿360docimg_595_轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与360docimg_596_轴、360docimg_597_轴分别相交于360docimg_598_两点，设运动时间为360docimg_599_秒（360docimg_600_）．

（1）求360docimg_601_两点的坐标；

（2）用含360docimg_602_的代数式表示360docimg_603_的面积360docimg_604_；

（3）以360docimg_605_为对角线作矩形360docimg_606_，记360docimg_607_和360docimg_608_重合部分的面积为360docimg_609_，

360docimg_610_①当360docimg_611_时，试探究360docimg_612_与360docimg_613_之间的函数关系式；

②在直线360docimg_614_的运动过程中，当360docimg_615_为何值时，360docimg_616_为360docimg_617_面积的360docimg_618_？

55.(2009年肇庆市)如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，360docimg_619_．  

360docimg_620_（1）求证：△ABD是正三角形； 

（2）求 AC的长（结果可保留根号）． 

56.(2009年肇庆市)如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． 

360docimg_621_（1）求证：360docimg_622_； 

（2）求证：360docimg_623_．

57．（2009年山西省）在360docimg_624_中，360docimg_625_将360docimg_626_绕点360docimg_627_顺时针旋转角360docimg_628_360docimg_629_360docimg_630_360docimg_631_得360docimg_632_交360docimg_633_于点360docimg_634_，360docimg_635_分别交360docimg_636_于360docimg_637_两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段360docimg_638_与360docimg_639_有怎样的数量关系？并证明你的结论；

360docimg_640_

（2）如图2，当360docimg_641_360docimg_642_时，试判断四边形360docimg_643_的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求360docimg_644_的长．

58．（2009年山西省）如图，已知直线360docimg_645_与直线360docimg_646_相交于点360docimg_647_分别交360docimg_648_轴于360docimg_649_两点．矩形360docimg_650_的顶点360docimg_651_分别在直线360docimg_652_上，顶点360docimg_653_都在360docimg_654_轴上，且点360docimg_655_与点360docimg_656_重合．

    （1）求360docimg_657_的面积；

（2）求矩形360docimg_658_的边360docimg_659_与360docimg_660_的长；

（3）若矩形360docimg_661_从原点出发，沿360docimg_662_轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为360docimg_663_秒，矩形360docimg_664_与360docimg_665_重叠部分的面积为360docimg_666_，求360docimg_667_关于360docimg_668_的函数关系式，并写出相应的360docimg_669_的取值范围．

360docimg_670_

60．（2009年黄石市）如图，360docimg_671_中，点360docimg_672_是边360docimg_673_上一个动点，过360docimg_674_作直线360docimg_675_，设360docimg_676_交360docimg_677_的平分线于点360docimg_678_，交360docimg_679_的外角平分线于点360docimg_680_．

（1）探究：线段360docimg_681_与360docimg_682_的数量关系并加以证明；

（2）当点360docimg_683_在边360docimg_684_上运动时，四边形360docimg_685_会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点360docimg_686_运动到何处，且360docimg_687_满足什么条件时，四边形360docimg_688_是正方形？

360docimg_689_

61．（2009年黄石市）正方形360docimg_690_在如图所示的平面直角坐标系中，360docimg_691_在360docimg_692_轴正半轴上，360docimg_693_在360docimg_694_轴的负半轴上，360docimg_695_交360docimg_696_轴正半轴于360docimg_697_交360docimg_698_轴负半轴于360docimg_699_，360docimg_700_，抛物线360docimg_701_过360docimg_702_三点．

（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）360docimg_703_是抛物线上360docimg_704_间的一点，过360docimg_705_点作平行于360docimg_706_轴的直线交边360docimg_707_于360docimg_708_，交360docimg_709_所在直线于360docimg_710_，若360docimg_711_，则判断四边形360docimg_712_的形状；（3分）

（3）在射线360docimg_713_上是否存在动点360docimg_714_，在射线360docimg_715_上是否存在动点360docimg_716_，使得360docimg_717_且360docimg_718_，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）

360docimg_719_

62．（2009年广东省）正方形360docimg_720_边长为4，360docimg_721_、360docimg_722_分别是360docimg_723_、360docimg_724_上的两个动点， 当360docimg_725_点在360docimg_726_上运动时，保持360docimg_727_和360docimg_728_垂直，

（1）证明：360docimg_729_；

（2）设360docimg_730_，梯形360docimg_731_的面积为360docimg_732_，求360docimg_733_与360docimg_734_之间的函数关系式；当360docimg_735_点运动到什么位置时，四边形360docimg_736_面积最大，并求出最大面积；

（3）当360docimg_737_点运动到什么位置时360docimg_738_，求此时360docimg_739_的值．

360docimg_740_

63．（2009年广东省）在菱形360docimg_741_中，对角线360docimg_742_与360docimg_743_相交于点360docimg_744_，360docimg_745_．过点360docimg_746_作360docimg_747_交360docimg_748_的延长线于点360docimg_749_．

（1）求360docimg_750_的周长；

（2）点360docimg_751_为线段360docimg_752_上的点，连接360docimg_753_并延长交360docimg_754_于点360docimg_755_．

求证：360docimg_756_．

360docimg_757_

．

65.（2009年安徽）20．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰

能拼成一个矩形（非正方形）．

（1）画出拼成的矩形的简图；

【解】

（2）求360docimg_758_的值．

【解】

360docimg_759_

66.（2009湖北荆州年）把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。

67.（2009年湖北荆州）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1），∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线360docimg_760_经过AD的中点M．

⑴填空：Ａ点坐标为          ，D点坐标为          ；

⑵操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转360docimg_761_度角360docimg_762_，并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．

探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度360docimg_763_，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出360docimg_764_的值；若不存在，说明理由；

探究2：设AP＝360docimg_765_，四边形OPDQ的面积为360docimg_766_，求360docimg_767_与360docimg_768_之间的函数关系式，并指出360docimg_769_的取值范围．

360docimg_770_

68．(2009年云南省)如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：△ABC≌△DCB ；

360docimg_771_（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

69．（2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

360docimg_772_

70．（2009厦门）23.已知四边形ABCD，AD//BC，连接BD.

(1) 小明说：“若添加条件360docimg_773_，则四边形ABCD是矩形”.你认为小明的说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出一个反例.

(2) 若BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求证：四边形ABCD 是正方形．

360docimg_774_360docimg_775_

71.（2009四川绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；

（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

360docimg_776_（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．

360docimg_777_

72．（2009年广东省）在菱形360docimg_778_中，对角线360docimg_779_与360docimg_780_相交于点360docimg_781_，360docimg_782_．过点360docimg_783_作360docimg_784_交360docimg_785_的延长线于点360docimg_786_．

（1）求360docimg_787_的周长；

（2）点360docimg_788_为线段360docimg_789_上的点，连接360docimg_790_并延长交360docimg_791_于点360docimg_792_．

求证：360docimg_793_．

360docimg_794_

73．（2009年山西省）在360docimg_795_中，360docimg_796_将360docimg_797_绕点360docimg_798_顺时针旋转角360docimg_799_360docimg_800_360docimg_801_360docimg_802_得360docimg_803_交360docimg_804_于点360docimg_805_，360docimg_806_分别交360docimg_807_于360docimg_808_两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段360docimg_809_与360docimg_810_有怎样的数量关系？并证明你的结论；

360docimg_811_

（2）如图2，当360docimg_812_360docimg_813_时，试判断四边形360docimg_814_的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求360docimg_815_的长．

74．（2009年山西省）如图，已知直线360docimg_816_与直线360docimg_817_相交于点360docimg_818_分别交360docimg_819_轴于360docimg_820_两点．矩形360docimg_821_的顶点360docimg_822_分别在直线360docimg_823_上，顶点360docimg_824_都在360docimg_825_轴上，且点360docimg_826_与点360docimg_827_重合．

    （1）求360docimg_828_的面积；

（2）求矩形360docimg_829_的边360docimg_830_与360docimg_831_的长；

（3）若矩形360docimg_832_从原点出发，沿360docimg_833_轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为360docimg_834_秒，矩形360docimg_835_与360docimg_836_重叠部分的面积为360docimg_837_，求360docimg_838_关于360docimg_839_的函数关系式，并写出相应的360docimg_840_的取值范围．

360docimg_841_

8．（2009年黄石市）如图，360docimg_842_中，点360docimg_843_是边360docimg_844_上一个动点，过360docimg_845_作直线360docimg_846_，设360docimg_847_交360docimg_848_的平分线于点360docimg_849_，交360docimg_850_的外角平分线于点360docimg_851_．

（1）探究：线段360docimg_852_与360docimg_853_的数量关系并加以证明；

（2）当点360docimg_854_在边360docimg_855_上运动时，四边形360docimg_856_会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点360docimg_857_运动到何处，且360docimg_858_满足什么条件时，四边形360docimg_859_是正方形？

360docimg_860_

76．（2009年铁岭市）360docimg_861_是等边三角形，点360docimg_862_是射线360docimg_863_上的一个动点（点360docimg_864_不与点360docimg_865_重合），360docimg_866_是以360docimg_867_为边的等边三角形，过点360docimg_868_作360docimg_869_的平行线，分别交射线360docimg_870_于点360docimg_871_，连接360docimg_872_．

（1）如图（a）所示，当点360docimg_873_在线段360docimg_874_上时．

     ①求证：360docimg_875_；

②探究四边形360docimg_876_是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点360docimg_877_在360docimg_878_的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？

（3）在（2）的情况下，当点360docimg_879_运动到什么位置时，四边形360docimg_880_是菱形？并说明理由．

360docimg_881_

77.（2009青海）请阅读，完成证明和填空．

360docimg_882_

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图12-1，正三角形360docimg_883_中，在360docimg_884_边上分别取点360docimg_885_，使360docimg_886_，连接360docimg_887_，发现360docimg_888_，且360docimg_889_．

请证明：360docimg_890_．

（2）如图12-2，正方形360docimg_891_中，在360docimg_892_边上分别取点360docimg_893_，使360docimg_894_，连接360docimg_895_，那么360docimg_896_        ，且360docimg_897_       度．

（3）如图12-3，正五边形360docimg_898_中，在360docimg_899_边上分别取点360docimg_900_，使360docimg_901_，连接360docimg_902_，那么360docimg_903_        ，且360docimg_904_       度．

（4）在正360docimg_905_边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．

请大胆猜测，用一句话概括你的发现：                                         

                                                                           ．

78.（2009呼和浩特）如图所示，正方形360docimg_906_的边360docimg_907_在正方形360docimg_908_的边360docimg_909_上，连接360docimg_910_．

（1）求证：360docimg_911_．

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

360docimg_912_

79.（2009龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN．

①求证：360docimg_913_；

②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =360docimg_914_，求点M到AD的距离及tan360docimg_915_的值；

（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．

试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

360docimg_916_360docimg_917_

80.(2009年抚顺市)如图所示，已知：360docimg_918_中，360docimg_919_．

（1）尺规作图：作360docimg_920_的平分线360docimg_921_交360docimg_922_于点360docimg_923_（只保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作图形中，将360docimg_924_沿某条直线折叠，使点360docimg_925_与点360docimg_926_重合，折痕360docimg_927_交360docimg_928_于点360docimg_929_，交360docimg_930_于点360docimg_931_，连接360docimg_932_，再展回到原图形，得到四边形360docimg_933_．

360docimg_934_试判断四边形360docimg_935_的形状，并证明；

360docimg_936_360docimg_937_若360docimg_938_，求四边形360docimg_939_的周长和360docimg_940_的长．