风水世家 电视剧:抽屉原理与容斥原理

抽屉原理与容斥原理

有人说：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；又说：“某校一个年级的400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”，你认为他的说法对吗？你能说明为什么对或为什么不对吗？

1947年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”这道题看起来与数学没有多大关系，似乎无法用数学知识解决。但解决时并不要用到多少高深知识，立即引起了许多数学爱好者的关注和兴趣。以上问题就是数学中的一类与“存在性”有关的问题。

解决以上这几个问题，要用到数学中的抽屉原理。

我们很容易理解这样一个事实：把3只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2只或2只以上的苹果。用数学语言表达这一事实，就是：将n+1个元素放入n个集合内，则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n为正整数）。这就是抽屉原理，也称为“鸽笼（巢）”原理。这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此，称之为狄里克雷原理。

抽屉原理还有另外的常用形式：

抽屉原理2：把m个元素任意放入个集合里，则一定有一个集合里至少有k个元素，其中：

抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

现在你能肯定前面的两种说法是正确的吗？你能说明这两种说法是正确的吗？

利用抽屉原理，可以解决一些相当复杂甚至感到无从下手的问题，抽屉原理也是解决存在性问题的常用方法。

例1. 在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。

分析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。

解：1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。

试一试：从2，5，8，11，……，101中任取20个数，其中必有两对数，它们的和为106。

例2. 任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。

分析：解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。

解：以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。

例3. 在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过。

解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为。把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过。

反思：将边长为1的正方形分成4个面积均为的小正方形，从而构造出4个抽屉，是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4个图形的面积也都是，但这样构造抽屉不能证到结论。可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。

试一试：在边长为1的等边三角形中有10个点，证明其中必有两个点之间的距离不大于。

例4. 有一个圆，经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1986个交点，在每个交点上分别填上从1到496中的一个整数（可以重复）。证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。

分析：由于结果与直径两端的和有关，因此考虑直径两端数的和共有从1+1到496+496的991种情况，可以将这991种情况作为991个抽屉，而直径两端的和共有993个数，由抽屉原理，一定存在两条直径，它们的两端数的和相等。

证明：因为直径两端的和从2到992共有991种不同的结果，993条直径两端的和共有993个数，由抽屉原理可知，一定存在两条直径，它们的两端数的和相等。

试一试：圆桌周围均匀地放了10个座位，桌边上放有10位客人的名字。当客人随意入座后，发现没有一个人对着自己的名字，试证明，可以转动圆桌，使得至少有两位客人同时对着自己的名字。

应该注意的是用抽屉原理解决问题，只能证明具有某种性质的对象的“存在性”，却不一定能具体指出这些对象是谁。

一般来说，题目中不会明确什么是“抽屉”，有几个“抽屉”，确定“抽屉”是用抽屉原理解题时需要做的工作。

以上讨论了抽屉原理以及它的一些应用，我们来看下面一类计数问题：

某班50名学生，在第一次测验中26人满分，在第二次测验中21人满分，如果两次测验中都没得到满分的学生有17人，那么两次测验中都获得满分的人数是_____________。

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理，也叫做包含排除原理。

容斥原理1

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数=A类元素个数+B类元素个数一既是A类又是B类的元素个数。

例5. 从1到200中能被3或5整除的整数共有_____________个。

分析与解：依题意，被计数的事物有能被3整除和能被5整除两类，把“能被3整除”称为“A类元素”，“能被5整除”称为“B类元素”，“能被3整除又能被5整除”称为“既是A类又是B类元素”，

A类元素的个数

B类元素的个数

既是A类又是B类元素的个数

所以，由容斥原理知，从1到200中能被3或5整除的整数的个数=66+40-13=93。

试一试：一次测试，某班有15人语文得满分，有12人数学得满分，并且有4人语文、数学都是满分，那么这个班至少有一门得满分的有多少人？

例6. 某班50名学生，在第一次测验中26人满分，在第二次测验中21人满分，如果两次测验中都没得到满分的学生有17人，那么，两次测验中都获得满分的人数是___________。

分析与解：依题意，被计数的事物有两类：第一次测验得满分和第二次测验得满分。把“第一次测验得满分”称为“A类元素”，“第二次测验得满分”称为“B类元素”，“两次测验都得满分”称为“既是A类又是B类元素”。因为两次测验都没有得满分的学生有17人，所以，两次测验中至少有一次得满分的学生有人，即A类或B类元素的个数是33。又A类元素个数=26，B类元素个数=21，根据容斥原理，

既是A类又是B类的元素个数=A类元素个数+B类元素个数－A类或B类元素的个数=26+21－33=14。

即两次测验中都获得满分的人数是14。

容斥原理2

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

例7. 某次考试，某班语文成绩优秀的有28人，数学成绩优秀的有32人，英语成绩优秀的有34人，语文、数学成绩都是优秀的有22人，语文、英语成绩都是优秀的有24人，数学、英语成绩都是优秀的有25人，语文、数学、英语成绩都达到优秀的有18人，那么，该班语文、数学、英语三科中至少有一科成绩是优秀的有几人？

分析与解：依题意，被计数的事物有语文成绩优秀、数学成绩优秀、英语成绩优秀三类，把“语文成绩优秀”称为“A类元素”，“数学成绩优秀”称为“B类元素”，“英语成绩优秀”称为“C类元素”，“语文和数学成绩都是优秀”称为“既是A类又是B类的元素”，“语文和英语成绩都是优秀”称为“既是A类又是C类的元素”，“数学和英语成绩都是优秀”称为“既是B类又是C类的元素”，“语文、数学、英语三科成绩都是优秀”称为“既是A类又是B类而且是C类的元素”，“语文、数学、英语三科中至少有一科成绩是优秀”称为“A类或B类或C类的元素”。

A类元素的个数=28，

B类元素的个数=32，

C类元素的个数=34，

既是A类又是B类的元素的个数=22，

既是A类又是C类的元素的个数=24，

既是B类又是C类的元素的个数=25，

既是A类又是B类而且是C类的元素的个数=18，

所以，A类或B类或C类元素的个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数－既是A类又是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素的个数－既是B类又是C类的元素的个数+既是A类又是B类而且是C类的元素的个数=28+32+34－22－24－25+18=41。

所以，该班语文、数学、英语三科中至少有一科成绩是优秀的有41人。

试一试：某次考试，某班50名学生中，语文成绩优秀的有28人，数学成绩优秀的有32人，英语成绩优秀的有34人，语文、数学成绩都是优秀的有22人，语文、英语成绩都是优秀的有24人，数学、英语成绩都是优秀的有25人，语文、数学、英语成绩都没有达到优秀的有9人，那么该班语文、数学、英语三科成绩都是优秀的有几人？（原创）

练习题

1. 在{1，2，3，……，n}中，任意取出10个数，使得其中有两个数的比值不小于，且不大于，求n的最大值。

2. 证明：任意1002个整数中必有两个整数，它们的和或差是2000的倍数。

3. 任意7个不同的整数中，必有两个数，它们的和或差是10的倍数。

4. 能否在的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这3个数字中的任意一个，使得每行、每列及对角线上的各个数字的和互不相等。

5. 某工厂有职工120人，其中有车工上岗证的50人，有钳工上岗证的45人，有电工上岗证的40人，其中18人既有车工上岗证又有钳工上岗证，17人既有车工上岗证又有电工上岗证，15人既有钳工上岗证又有电工上岗证，同时持有这三种上岗证的有10人。该厂没有这三种上岗证中任何一种的职工有多少人？（原创）

6. （2005年中央甲类考试第45题）对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：

A. 22人 B. 28人 C. 30人 D. 36人

参考解答与提示：

试一试

（例1）提示构造抽屉{5，101}，{8，98}，{50，56}，{2}，{53}共18个抽屉。

（例3）把等边三角形分成边长为的9个小等边三角形，每个小三角形中，任意两点之间的距离都不大于，这样构造成9个抽屉。由抽屉原理可知，肯定有两个点在同一个抽屉中，这两个点之间的距离不大于。

（例4）对每位客人而言，恰好有一种转动使得他正对着圆桌上自己的名字，除去刚入座的全坐错的情况，在圆桌其余9种转动中，应有10位客人各有一次对着自己的名字，因此结论成立，上述9种转动即为9个抽屉。

（例7）18人。

练习题

1. 因为任意取出的是10个数，所以考虑构造9个抽屉，并使这9个抽屉不重复地放入{1，2，3，……，n}中的数，每一个抽屉里任意两个数的比值在与之间，并包含。构造抽屉如下{1}，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}，{11，12，13，14，15，16}，{17，……，25}，{26，……，39}，{40，……，60}，{61，……，91}，故n=91。

2. 考虑以余数组来构造抽屉：{0}，{1，1999}，{2，1998}，{3，1997}，……，{999，1001}，{1000}，共1001个抽屉，将1002个整数放入上述1001个抽屉，必有一个抽屉中放入了两个或两个以上的整数，则同一抽屉中两数的和或差为2000的倍数。

3. 利用除以10所得的余数构造抽屉：{0}，{5}，{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}共6个抽屉，任意的7个数，放入这6个抽屉，至少有一个抽屉中有两个数。结论成立。

4. 不能。的方格表有8行8列和2条对角线共18条“线”，每条“线”上填8个数字，这8个数字的和最小是8，最大是24，共有17种不同的情况，将这17种情况看作抽屉，由抽屉原理知，不能保证每行、每列及对角线上的各个数字和互不相等。

5. 25

6. B