偶看新闻3磅的方形蛋糕:射影定理2
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/05/01 20:14:19
射影定理
开放分类：几何定理定理数学定理数学术语术语
所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
纠错 编辑摘要 目录- 1 简介
- 2 直角三角形射影定理
- 3 任意三角形射影定理
- 4 面积射影定理
- 5 相关条目
- 1 简介
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- 3 任意三角形射影定理
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射影定理 - 简介
射影定理 射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
射影定理 - 直角三角形射影定理
直角三角形射影定理 直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式 如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD）^2=BD·DC，
（2）（AB）^2=BD·BC ，
（3）（AC）^2=CD·BC 。
证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
（AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2，
即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2。
这就是勾股定理的结论。
射影定理 - 任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝c·cosA＋a·cosC，
c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
任意三角形射影定理证明2：由正弦定理，可得：b=asinA/sinB，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA. 同理可证其余。
射影定理 - 面积射影定理
面积射影定理面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。” COSθ=S射影/S原
(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)
证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。