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来源:百度文库 编辑:偶看新闻 时间:2024/03/28 21:07:00

小学五年级奥数专题讲座09:奇偶性(三)

小升初数学广角  

 第9讲 奇偶性(三)

利用奇、偶数的性质,上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。

例1 在7×7的正方形的方格表中,以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子,要求每个方格中放置不多于1枚棋子,且每行正好放3枚棋子,则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子,这是为什么?

分析与解:题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子,假设这个说法不对,即对角线上没放棋子。如下图所示,因为题目要求摆放的棋子以MN为对称轴,所以对于MN左下方的任意一格A,总有MN右上方的一格A',A与A'关于MN对称,所以A与A'要么都放有棋子,要么都没放棋子。由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。而题设每行放3枚棋子,7行共放棋子 3×7=21(枚),21是奇数,与上面的推论矛盾。所以假设不成立,即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。

 

例2 对于左下表,每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同),变为右下表?为什么?

分析与解:因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数,所以表中九个数码的总和经过变化后,等于原来的总和加上或减去那个数的2倍,因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1+2+…+9=45,是奇数,经过若干次变化后,总和仍应是奇数,与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成右上表。

例3 左下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?

  

分析与解:如右上图所示,将相邻的房间黑、白相间染色。无论从哪个房间开始走,因为总是黑白相间地走过各房间,所以走过的黑、白房间数最多相差1。而右上图有7黑5白,所以不可能不重复地走遍每一个房间。

例4 左下图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形?

分析与解:将这14个小方格黑白相间染色(见右上图),有8个黑格,6个白格。相邻两个方格必然是一黑一白,如果能剪裁成7个小长方形,那么14个格应当是黑、白各7个,与实际情况不符,所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

例5 在右图的每个○中填入一个自然数(可以相同),使得任意两个相邻的○中的数字之差(大数减小数)恰好等于它们之间所标的数字。能否办到?为什么?

分析与解:假定图中5与1之间的○中的数是奇数,按顺时针加上或减去标出的数字,依次得到各个○中的数的奇偶性如下:

因为上图两端是同一个○中的数,不可能既是奇数又是偶数,所以5与1之间的○中的数不是奇数。

同理,假定5与1之间的○中的数是偶数,也将推出矛盾。

所以,题目的要求办不到。

例6 下页上图是半张中国象棋盘,棋盘上已放有一只马。众所周知,马是走“日”字的。请问:这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点,然后回到出发点?

分析与解:马走“日”字,在中国象棋盘上走有什么规律呢?

为方便研究规律,如下图所示,先在棋盘各交点处相间标上○和●,图中共有22个○和23个●。因为马走“日”字,每步只能从○跳到●,或由●跳到○,所以马从某点跳到同色的点(指○或●),要跳偶数步;跳到不同色的点,要跳奇数步。现在马在○点,要跳回这一点,应跳偶数步,可是棋盘上共有23+22=45(个)点,不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。

讨论:如果马的出发点不是在○点上而是在●点上,那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点,最后回到出发点上呢?按照上面的分析,显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求,那么情况就不一样了。从某点出发,跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点,要跳44步,44是偶数,所以起点和终点应是同色的点(指○或●)。因为44步跳过的点○与点●各22个,所以起点必是●,终点也是●。也就说是,当不要求回到出发点时,只要从●出发,就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。

   

 

 练习9

1.教室里有5排椅子,每排5张,每张椅子上坐一个学生。一周后,每个学生都必须和他相邻(前、后、左、右)的某一同学交换座位。问:能不能换成?为什么?

2.房间里有5盏灯,全部关着。每次拉两盏灯的开关,这样做若干次后,有没有可能使5盏灯全部是亮的?

3.左下图是由40个小正方形组成的图形,能否将它剪裁成20个相同的长方形?

 

 

4.一个正方形果园里种有48棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成七行七列(见右上图)。守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋。可以做到吗?

5.红光小学五年级一次乒乓球赛,共有男女学生17人报名参加。为节省时间不打循环赛,而采取以下方式:每人只打5场比赛,每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。然后根据每人得分决定出前5名。这种比赛方式是否可行?

6.如下图所示,将1~12顺次排成一圈。如果报出一个数a(在1~12之间),那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。例如a=3,就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置;a=11,就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问:a是多少时,可以走到7的位置?