偶看新闻濮阳市交警宋彦军:2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/29 17:35:44
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
(1)复数
，
为
的共轭复数，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【命题意图】本题主要考查复数的运算.
【解析】
|z|
2-(1+i)-1=
.
(2)函数
的反函数为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【命题意图】本题主要考查反函数的求法.
【解析】由原函数反解得
,又原函数的值域为
,所以函数
的反函数为
.
(3)下面四个条件中，使
成立的充分而不必要的条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.
【解析】即寻找命题
,使
,且
推不出
,逐项验证知可选A.
(4)设
为等差数列
的前
项和，若
，公差
，
，则
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【答案】D
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【解析】解法一
，解得
.
解法二: 
，解得
.
(5)设函数
，将
的图像向右平移
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则
的最小值等于
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换.
【解析】由题意得
,解得
,又
,令
,得
.
(6)已知直二面角
,点
，
,
为垂足,
，
,
为垂
足．若
，则
到平面
的距离等于
(A)
(B)
(C)
(D) 1
【答案】C
【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法.
【解析】如图,过
作
,垂足为
,因为
是直二面角, 
,∴
平面
,
∴
,
,
,∴
平面
,故
的长为点
到平面
的距离.在
中,由等面积法得
.
(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
【答案】B
【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.
【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有
种；
二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有
种.故赠送方法共有10
种.
(8)曲线
在点(0,2)处的切线与直线
和
围
成的三角形的面积为
(A)
(B)
(C)
(D)1
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.
【解析】
∴曲线
在点(0,2)处的切线的斜率
故切线方程是
,在直角坐标系中作出示意图得围
成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(
, 
)，∴三角形的面积是
.
(9)设
是周期为2的奇函数，当
时，
,则
(A) -
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.
【解析】由
是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得: 
.
(10)已知抛物线C：
的焦点为
，直线
与
交于
，
两点．则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.
【解析】联立
消去
得
,解得
,不妨设
点在
轴的上方,于是
，
两点的坐标分别为(4,4),(1,
),又
,可求得
.在
中,由余弦定理
.
(11)已知平面α截一球面得圆
，过圆心
且与α成
二面角的平面β截该球面得圆
.若该球面的半径为4，圆
的面积为4
，则圆
的面积为
(A)7
(B)9
(C)11
(D)13
【答案】D
【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.
【解析】如图所示,由圆
的面积为4
知球心
到圆
的距离
,在
中,
, ∴
,故圆
的半径
,∴圆
的面积为
.
(12)设向量
，
，
满足|
，
，
，则
的最大值等于
(A)2 (B)
(c)
(D)1
【答案】A
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.
【解析】如图，设
，则
，
，∴
四点共圆，当
为圆的直径时，
最大，最大值为2.
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
第Ⅱ卷
注意事项：
1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字
笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。
2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。
3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上(注意：在试卷上作答无效)
(13)
的二项展开式中，
的系数与
的系数之差为 
.
【答案】0
【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.
【解析】由
得
的系数为
,
的系数为
,而
=
,所以
的系数与
的系数之差为0.
(14)已知
,
,则
.
【答案】
【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式.
【解析】由
,
得
,故
,
∴
.
(15)已知
、
分别为双曲线
: 
的左、右焦点，点
，点
的坐标为(2，0)，
为
的平分线．则
.
【答案】6
【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.
【解析】
为
的平分线，∴
∴
又点
，由双曲线的第一定义得
.
(16)己知点
、
分别在正方体
的棱
、
上，且
，则面
与面
所成的二面角的正切值等于 .
【答案】
【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.
【解析】延长
交
的延长线于
,连结
,则
为面
与面
的交线,由
得
,∴
为
中点.设正方体的棱长为1,则
,又
,∴
∴
平面
,∴
∴
是面
与面
所成的二面角的平面角,在
中,
,故面
与面
所成的二面角的正切值等于
.
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
.已知
, ,求
.
【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【解析】由
及正弦定理可得
…………………………………3分
又由
,
,故
=
=
…………………………………7分
,
因为 
,
所以 
,
…………………………………10分
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
(18)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲
种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)
表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求
的期望.
【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望，考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】记
表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；
表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲
种保险；
表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；
表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.
(I)
, 
, 
……………………………3分
……………………………6分
(Ⅱ)
,
,即
服从二项分布, ……………………………10分
所以期望 
. ……………………………12分
【点评】概率与统计是每年的必考题，一般安排在解答题的前3题.本题属于已知概率求概率类型. 考查保险背景下的概率问题，要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望.
(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
如图，四棱锥
中， 
,
，侧面
为等边三角形，
.
(Ⅰ)证明：
平面
；
(Ⅱ)求
与平面
所成角的大小.
【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.
解法一：(Ⅰ)取
中点
，连结
，则四边形
为矩形，
，连结
，则
，
.
又
,故
,所以
为直角. ………………3分
由
,
,
,得
平面
,所以
.
与两条相交直线
、
都垂直.
所以
平面
. ………………6分
另解:由已知易求得
,于是
.可知
,同理可得
,又
.所以
平面
. ………………6分
(Ⅱ)由
平面
知，平面
平面
.
作
,垂足为
,则
平面ABCD,
.
作
,垂足为
,则
.
连结
.则
.
又
,故
平面
,平面
平面
.……9分
作
,
为垂足,则
平面
.
,即
到平面
的距离为
.
由于
,所以
平面
,
到平面
的距离
也为
.
设
与平面
所成的角为
,则
,
.……12分
解法二：以
为原点,射线
为
轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设
,则
、
.
又设
,则
.
(Ⅰ)
,
由
得
,
故
.
由
得
,
又由
得
,
即
,故
. ………………3分
于是
,
.
故
,又
,
所以
平面
. ………………6分
(Ⅱ)设平面
的法向量
,
则
.
又
,
故
………………9分
取
得
,又
.
故
与平面
所成的角为
. ………………12分
【点评】立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.今年的立几问题建系就存在这样的问题，很多考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好.
(20)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
设数列
满足
且
.
求
的通项公式；
(Ⅱ)设
.
【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】(Ⅰ)由题设
,
即
是公差为1的等差数列.
又
,故
.
所以
……………………………5分# (Ⅱ) 由(Ⅰ)得
,
…………………………12分
【点评】2011年高考数学全国卷将数列题由去年的第18题后移,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
(21)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知
为坐标原点，
为椭圆
：
在
轴正半轴上的焦点，过
且斜率为
的直线
与
交与
、
两点，点
满
足
.
(I)证明：点
在
上；
(II)设点
关于点
的对称点为
，证明：
、
、
、
四点在同一圆上.
【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
【解析】(I)
,
的方程为
,代入
并化简得
. …………………………2分
设
,
则
由题意得
所以点
的坐标为
.
经验证点
的坐标
满足方程
,故点
在椭圆
上 …6分
(II)由
和题设知，
，
的垂直平分线
的方程为
. ①
设
的中点为
,则
,
的垂直平分线
的方程为
. ②
由①、②得
、
的交点为
. …………………………9分
,
,
,
,
,
故 
,
又 
, 
,
所以 
,
由此知
、
、
、
四点在以
为圆心,
为半径的圆上. ……………12分
【点评】本题涉及到平面微向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度. 首先出题位置和平时模拟几乎没有变化，都保持全卷倒数第二道题的位置，这点考生非常适应的。相对来讲比较容易，是因为这道题最好特点没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，反而同学不知道怎么下手，让我求什么不知道，给出马上给向量条件，出了两道证明题，这个跟平时做的不太一样，证明题结论给大家，需要大家严谨推导出来，可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙，非常涉及解析几何本质的内容，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个疑问既然出现四点共圆，这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题，让学生掌握解析几何的本质，而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题，最后方法用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆形不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题。方法确定以后计算量其实比往年少.
(22)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
(I)设函数
，证明：当360docimg_501_时，360docimg_502_；
(II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式360docimg_503_连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为360docimg_504_.证360docimg_505_明：360docimg_506_
【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【解析】(I) 360docimg_507_ …………………………2分
当360docimg_508_时, 360docimg_509_,所以360docimg_510_为增函数,又360docimg_511_,因此当360docimg_512_时,
360docimg_513_. …………………………5分
(II) 360docimg_514_.
又360docimg_515_
所以360docimg_516_.
由(I)知: 当360docimg_517_时, 360docimg_518_
因此 360docimg_519_.
在上式中,令360docimg_520_,则 19360docimg_521_,即360docimg_522_.
所以360docimg_523_ …………………………12分
【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力360docimg_524_.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，有时还伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.