偶看新闻芜湖神和麻辣香锅:一、多笔画
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/28 06:48:29
一、多笔画
在第一册第八讲例1中，我们讨论了下列图形的一笔画问题。
通过观察列出了下表：
由此表我们发现，一个图能否一笔画成与图的奇结点的个数有关系。如果我们再进一步观察，还可发现，这些图中的奇结点的数目都是偶数。这是一种偶然的巧合还是一种普遍的规律呢？如果我们再观察一些其它的图，结果也是没有出现奇结点数目是奇数的现象。于是我们可以作如下猜想：
在任何一个图中，奇结点的个数一定是偶数。
这是因为一个图的每条边都与两个结点相连结，所以，如果把一个图的所有结点的度数相加，由于每条边都计算了两次，其度数和是边数的2倍，它是偶数，可设为2n。又因为每个偶结点的度数都是偶数，它们的度数和当然是偶数，可设为2m。由此可知，所有奇结点的度数和为
2n－2m＝2（n－m）（n、m为自然数）
也是一个偶数，但每个奇结点的度数都是奇数，所以奇结点的个数一定是偶数。否则，如果奇结点的个数是奇数，那么，因为奇数个奇数的和是奇数，就得到所有奇结点度数的和是奇数。这与上述结论相矛盾。这就说明，在任何一个图中，奇结点的个数一定是偶数。
例1 先数一数下列各图形中奇结点的个数。如果有的图形不能一笔画成，那么，至少几笔才能画成？
分析与解 ：图8－2（a）中只有两个奇结点，根据欧拉定理，可从A点出发一笔画出到B点结束，图（b）中有四个奇结点，不能一笔画成。图8－2（b）与图（a）比较，多出了折线CEFD。如果先一笔画出图（a），再添一笔画出折线CEFD，就可得到图（b）。因此，图（b）至少两笔才能画成。图8－2（c）中共有六个奇结点，也不能一笔画成。图（c）与图（b）比较又多出了一面旗子。它也含有两个奇结点，于是在两笔画出图（b）的基础上，再添一笔画上旗子，就成了图（c）。因此，图（c）至少三笔才能画成。
例2 图8－3（a）表示一所房子，问至少几笔才能画成？
分析与解：1图8－3（a）所示的图中共有B、E、F、G、I、J六个奇结点，所以不能一笔画成。如果我们将两个奇结点间的连线去掉一条，那么这两个奇结点就成为偶结点了。当我们把图中奇结点的个数减少到2个时，（想一想，奇结点个数为何不需减少到零个？）新的图就可以一笔画成了。
在图（a）中，第一笔画BJ，第二笔画GF。这样剩下I、E两个奇结点，如图（b）所示，这个图是可以一笔画成的。所以这所房子至少要三笔才能画成。
由上述两个例题看到，如果图中有两个奇结点，一笔就能画出；有四个奇结点，至少两笔才能画出；有六个奇结点，至少三笔才能画出；如果图中有八个奇结点，利用同样的道理分析，至少四笔才能画成。一般地，一个连通图如果有2n（n为自然数）个奇结点，那么至少画n笔才能画成。我们把这类问题称作多笔画问题。