偶看新闻仓库租金能抵扣吗:高中数学新课程立体几何教学问题研究
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/29 16:52:48
根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）编写的实验教材首先于2004年秋季开始在广东等四省进行试验，目前，全国已经有约三分之二省市进入了新课程教材的试验。经过几年的试验，新教材实验取得了丰硕成果。通过新一轮的教材试验，我国中学数学教学工作者在数学教育的观念上有了新的认识和提高，对于数学的发展及其价值的认识有了普遍提高，就社会对数学的需求状况、进一步提高学生数学素养的必要性有了更深的理解，对于国际数学课程发展情况有了较广阔的视野和初步认识，对于我国数学教育的发展历史，尤其是建国后数学教育的改革发展有了一定的了解，对于改革开放后我国中学数学教学的优点以及我国基础教育数学课程存在的不足和问题也有所认识和反思，对新高中数学课程的基本理念、课程目标进行了认真的学习和研究并予以贯彻落实。通过试验，我国高中数学教学取得了巨大的发展和成绩。
在高中数学新课程教材试验取得巨大成绩的同时，正如《普通高中数学课程标准解读》所指出的，《课程标准》中还有一些问题需要进一步探讨和研究，需要社会各界关注新一轮高中数学课程改革，对新的高中数学课程中存在的问题开展研究和讨论，使我国的高中数学课程体系更加趋于完善，并形成具有鲜明的中国特色的数学课程体系[1]，智者千虑也总有一失，我国正在进行的高中数学课程标准仍存在一些有争议的问题，许多研究者（如人民教育出版社中学数学室等）也对实验中出现的问题进行了广泛而深入的调查研究。笔者参加了课程标准实验教科书的研究、编写，也赴部分试验区进行了教材介绍，回访等工作，对课程标准和实验教材进行了反复学习，对教材试验中出现的一些问题作了一些研究、分析和思考。本文对于高中数学新课程中立体几何教学问题作初步研究分析，提出解决问题的一些思考，希望对后续的实验推广和课程标准、实验教科书的修订完善有所参考。
一、立体几何内容及结构问题
立体几何的教学是高中数学的重要组成部分，新高中数学课程对立体几何的教学作了重大的结构调整和教学要求改变，“《课程标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直觉的能力，逻辑推理能力等，在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，《课程标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程。立体几何内容分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质，对于进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理”[l]。
立体几何的教学问题是目前教材试验中讨论的一个重点问题。在课程标准实验教科书的实验回访中，老师们对于立体几何的教学提出了一些意见，其中一方面集中在几何体内容与点线面位置关系的先后顺序上。新课程首先安排简单几何体的内容，要求利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，对于结构特征，江苏省运河高等师范学校彭玉忠老师指出：“所谓结构特征，就是几何体的特征性质，换言之，即本质属性。确认几何体的结构特征，就是揭示几何体生成的过程和规律……由于此阶段对几何体结构特征的研究尚无理论根据，全凭观察和操作来确认，单从单一角度分析不足以使学生全面而准确地认识几何体的结构特征。”[2]。上面的结构实际上就是指多面体的棱，表面多边形，或者旋转体轴、母线等之间的位置关系，结构特征就是位置关系的特征、特点，实际上应该看成是几何体概念的本质特征。但是，由于学生尚未学习空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的基本知识，包括对于描述几何体结构特征至关重要的有关平行、垂直等概念，所以，对于空间图形结构特征的描述实际上是不可能真正达到的一个教学要求。笔者认为，正如对于新高中数学课程中不等式有关内容的教学不应该先安排基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教学，然后再安排不等式基本性质的教学；也正如在平面几何内容教学中，不应该先安排多边形和圆的性质的研究，然后再安排有关两条直线相交、平行、垂直等基本关系的研究，以及三角形的基本性质的教学等等，因为后者为前者作了基本知识的准备，同样，直线与平面基本关系知识的教学，为包括几何体在内的空间几何图形的研究奠定了知识基础，可以使空间几何图形的研究顺利推进。
笔者认为，立体几何部分的教学，是可以首先借助信息技术和实物展示丰富的立体图形，让学生认识学习立体几何知识的必要性与重要性，然后就应该很快转入直线，平面基本图形位置关系的核心知识学习，在此基础上，再研究几何体的性质。当然，对于几何体的研究的详略程度，则应该有所选择，有所侧重，不必面面俱到。另外对于几何体表面积、体积公式，从把数学也作为工具性、应用性学科的角度看，其推导则可以根据实际情况有详有略。
另外，三垂线定理（及逆定理）给出了一种判定平面内—条直线与平面的斜线（或斜线的射影）垂直的方法，解决了一类重要问题，具有广泛应用。新课程把它安排到了选修2-1，在一个例题中证明了此结论，但没有相应的巩固和应用性的训练，导致此定理的地位下降了，作用减弱了。课程标准要求以长方体模型为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，使得空间位置关系的讨论的背景很单一，不能反映现实空间实际背景的丰富性，对于具体空间关系问题的实际背景针对性并非最佳，这样的引导也许并不妥当。
立体几何课程是高中数学课程的重要组成部分，其结构问题是中学数学课程的一个重要问题，影响重大。国际数学教育界对于立体几何教学也一直在探索研究中，众所周知，俄罗斯的数学教育一直具有很高的水平，其逻辑的高度严密性是其显著特点（立体几何中典型的例子如在格拉哥列夫著的《初等几何学（立体几何）》（人民教育出版社翻译出版）在讨论直线与平面垂直关系时先证明如果直线垂直于平面内两条相交直线则直线垂直于平面内所有直线以说明存在性，然后引入直线与平面垂直的定义，并把上面已经证明的定理作为直线与平面垂直的判定定理），俄罗斯的中学数学教材对于我国的数学教学有深远的影响，我们看到，为了满足信息社会时代发展需要，俄罗斯中学数学课程已经有了很大的发展。我们从2002年出版的俄罗斯高中《几何》（10、11年级）的教科书看到，俄罗斯高中几何课程已经有了较大的改革和发展，此书前三章保留了传统高中几何的课程结构，第一章包括了空间直线与平面的基本性质、空间直线和平面位置关系，平面与平面平行的判定和性质，平行六面体的性质、多面体的截面；第二章包括直线与平面垂直的判定、三垂线定理、平面与平面的位置关系，平面与平面垂直的判定；第三章包括棱柱，棱锥，棱台概念和性质，正多面体的讨论等；第四章则引入了空间向量；第五章引入了空间直角坐标系，并和向量综合运用，介绍了空间解析几何的最基本知识，如空间两点间距离公式、两直线夹角的余弦（借助向量内积得到）。在后续章节引入了计算几何体体积的积分思想和方法并用于计算柱体、锥体、台体，球体，球台、球扇形等体积。对于立体几何课程的结构体系，著名的俄罗斯数学物理学校（高中）的《几何学》课程的结构体系对于我国高中立体几何教学也有重要的参考价值[3]。俄罗斯2004年颁布了国家教育标准，其高中几何课程内容结构，首先是安排直线与平面、相交直线、平行线和异面直线、两直线的角、直线和平面的平行，垂直及其判定和性质，三垂线定理，平面上的垂线和斜线、直线和平面的角、平面间的平行、垂直及其判定和性质，二面角、二面角的平面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离、异面直线间的距离、平行投影、多边形的垂直投影面积、立体几何图形的画法，后续内容中再安排多面体，旋转体体积和它们的表面积、坐标与向量等内容[4]。从上面看到，俄罗斯的高中立体几何的课程结构及其改革经验对于研究我国高中数学几何课程的发展具有重要的价值。
二、判定定理的证明问题
《课程标准》提倡合情推理与演绎推理的结合，对直线与平面平行，平面与平面平行、直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理只是通过操作就加以“确认”，不要求严格证明，认为这是培养了合情推理。笔者认为，这与数学的科学性要求不相符合，因为通过合情推理只能得到结论成立的一种猜测，结论的正确性还有待于严格的证明才能真正加以“确认”。此外，如果从课时的角度来考虑省略证明，判定定理的证明应该比性质定理的证明更显得重要，因为判定定理的作用在于确定垂直或平行等关系的存在，它处于基础的、重要的地位，如果这种重要基础地位不能确定j就没有什么性质可言了。另外，性质定理的证明比判定定理的证明要容易一些，实际上只是定义的直接应用而已，学生的理解不会存在什么困难。所以，从提高学生认识能力的角度看，对于一些不容易证明的判定定理的证明更具有必要性。例如，对于直线与平面垂直的判定定理，定理的证明条件已经完全具备了，可以很直接地加以证明，过去大纲教材的证明方法简捷，直观，是培养学生几何直觉的一个极好时机。现在的教学安排，放弃定理的证明，又承认定理并在需要时就加以应用，定理的证明则安排到了后续选修2-1模块的“空间向量与立体几何”部分借助空间向量的方法来证明，虽然方法确实简捷，但相隔时间已经很久，学生们对定理证明的必要性大多已经不以为然了。笔者认为，判定定理的探索和证明是培养学生的科学探究态度和理性思维的良好时机。从过去的教学经验看，对于怎样从直线与平面内两条相交直线的垂直的条件推证出此直线与平面垂直，即与平面内任何一条直线都垂直的问题，学生们一般都会有浓厚的兴趣，而保护和培养这种探究精神和态度对于高中学生尤其重要。平行与垂直判定定理是立体几何中重要而基本的内容，让学生证明这些定理，认识定理的正确性，比对结论不求甚解而盲目加以应用要好很多。著名数学家姜伯驹院士就曾经指出：“没有了严格的证明就没有了数学的灵魂和数学的精华。”另外，目前，对于空间关系判定定理的证明安排在了数学2-1的空间向量与立体几何部分，这对于选学1-1和1-2的学生就失去了知识的完整性，没有机会去理解这些重要的判定定理，这是一件缺憾的事。
三、向量与几何
怎样把空间向量和立体几何很好地结合起来，使立体几何的部分内容用向量方法处理，是一个有价值研究的问题。向量提供了另一种解决空间图形问题的方法，使学生领略到机械化的数学方法。向量方法具有把某些立体几何问题算法化的特点。从本质上说，向量不必分成平面向量和空间向量，任何一个向量都是空间中的一个向量，所以对于向量的研究应该可以直接从空间向量着手进行，高等学校的《空间解析几何》课程也正是这样安排的。但中学数学课程中，一般都先学习平面向量，然后安排空间向量，这可以使向量的知识在平面问题中首先及时得到应用，也降低了向量学习的难度，体现了知识的阶段性、螺旋式。可以预料，如果较早引入空间向量，就使许多内容的新处理成为可能，当然这是有利有弊的，是一个值得继续研究的问题，另外，向量与平面几何的有机结合问题也是值得研究的问题，平面向量为解决平面几何的问题提供了有力工具，这在国际上已经有探索和实践，如2003年制订的俄罗斯《几何学标准（草案）》就已经引入平面向量的部分内容来解决平面几何的一些问题。
参考文献：
①数学课程标准研制组，普通高中数学课程标准（实验）解读［M］．南京：江苏教育出版社，2004．
②彭玉忠．新课标高中立体几何若干问题辨析［J］．中学数学月刊，2006（12）：10-12．
③倪明，从战略上重视数学英才教育［J］．数学教学，2006（12）：封2-2．
④朱文芳．俄罗斯国家数学教育标准简介［J］．数学通报，2009（1）：17-21．
本文曾发表在《数学教学》2010年第2期．